1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）ppt配用优秀教学设计

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

（1）让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

教学重点：运用公式解决问题

教学难点：理解计算公式的由来. 教学过程

（一）情景导入

讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→

正方体、长方体的表面积计算公式？

讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？

→

圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？

那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标

这也是我们今天要学习的主要内容: 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习

1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，

梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。

2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是

求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、

、

、

。

3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于

（四）合作探究

面积探究: 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

体积探究: 讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？

五）交流展示

略

（六）精讲精练

1. 教学表面积计算公式的推导：

①

讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

②

练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1) 2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③

讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S圆柱侧=2rl，S圆柱表=2r(rl)，其中为r圆柱底面半径，l为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为3600，S圆锥侧=rl， S圆锥表=r(rl)，其

中为r圆锥底面半径，l为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周。

rl

长，侧面展开图扇环中心角为S圆台表=(r2rlRlR2). Rr3600，Sl圆台侧=(rR)l，例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为SS，由题意得圆锥的高为，又2r2rS2)，根据圆锥的侧面积2r圆柱的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长lr2(公式得

S圆锥侧S2rlrr()2r242r4S2.

2变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）

A．183

B．153

C．2483

D．24163

分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为23，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为

2. 教学柱锥台的体积计算公式：

①

讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）

②

根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V柱Sh

（S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱Shr2h

③

讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？

等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④

根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

→给出锥体的体积计算公式：V锥Sh S为底面面积，h为高）

⑤

讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

→

如何计算台体的体积？

⑥

给出台体的体积公式：V台(S'S'SS)h （S，S'分别上、下底面积，h为高）

→

V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h

（r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦

比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

13131313

讨论：侧面积公式是否也正确？

圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

公式记忆：V锥Sh

131V台(S'S'SS)h

311V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h

33例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）

A．3

3B．23

3

C．3

D．

3分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为

V112333.

3答案：A 变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

A．1

B．1

2C．1

3D．1

6活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。

分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB,PAVAC,ABAC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V答案：D 三、巩固练习：

(1). 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积. (2). 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积. 四、小结：表面积公式及推导；实际应用问题

1111SABCPA1.

3326

五、作业：习题1.3 A组1.3

1.3.2球的体积和表面积

一、

教学目标

知识目标：

1、掌握球的体积公式V4R3、表面积公式S4R2. 32、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．

3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．

能力目标：

通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力

情感目标：

通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、

教学重点、难点

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用. 难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题

三、教学过程

教学教学内容

环节

师生互动

图

设计意

1.球的概念：

球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球. 一个球用表示它的球心的字母表示，例如球O．

[A

ROC

方面唤起学生对球体的概念的认识，加深印象；另一方面，为本

B

2．球的截面：

用一平面去截一个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且OOd，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以rR2d2为半径的一个圆，ORPdrO'截面是一个圆面

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆

3、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

复

（1）．多面体的面积和体积公式

习

名称

引

直截面周长入

棱

柱

直棱柱

棱锥

和

正棱锥

S侧+S底

ch 各侧面积之棱

锥

S底·h 棱柱

×l S侧+2S底

S底·h=S直截面·h 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体

积(V)

1ch′

2各侧面面积1S底·h 3教师提出问题，学生思考作棱台

棱

台

正棱台

之和

1

2(c+c′)h′

S侧+S上底+S下底

1h(S上底+S下底3+S下底S下底) 答. 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

（2）．旋转体的面积和体积公式

名称

S侧

S全

圆柱

2πrl 2πr(l+r) πrh(即π2圆锥

πrl ππr(l+r) 2圆台

π(r1+r2)l (r1+r2)l+2节做好必要的π知识铺垫.

(r1+r2) V rl) 212πrh 3122πh(r1+r1r2+r2) 3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台

上、下底面半径，R表示半径。

3．正四面体：每个面都是正三角形的正三棱锥。

教学教学内容

环节

知

识

的

形

成

问题提出：球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容. 1．球的体积 可先求半径为R的半球的体积.为此，采用倒水做实验的方法，直观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器，其中一个是半球形的，师生共同完一个是圆柱形的，一个是圆锥形的，它们的高和底面圆的半径长都是成倒水实的学习兴趣，让学生发发现球的体现并体积公式. 验数学

中的美

导学生探索从实验入手，激发学生师生互动

图

设计意R.先在半球和圆锥容器里灌满水，然后倒入圆柱形容器里，我们可以验，教师引发现，这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们，半球的体积等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差，就是：

12V半球V圆柱V圆锥R2RR2RR3所以，334V球R3

3

2 球的表面积：（以后讲）

1V(h1S1h2S23hiSi)

教师讲渗透微积分思想.

又∵hiR，且SS1S2Si

∴可得V1RS，

3解，学生感悟分割、近似、极限等思想

又∵V414R3，∴RSR3，

333∴S4R2即为球的表面积公式

小结：球的体积公式V自变量的函数。

4R3、表面积公式S4R2都是以R为

3

应

用

举

例

练习1：如果球的体积是36cm,那么它的半径是 .3

3

教师引导学生共同完成

让学生巩固加深所学内容并灵练习2：

若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）

（A）8：27 （B）2：3 （C）4：9 （D）2：9 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的2

3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明：

（1）设球的半径为R，则圆柱的

底面半径为R，高为2R.

43则有V球=R，

3V圆柱=πR·2R=2πR，所以V球=V圆柱. 23

23

（2）因为S球=4πR，S圆柱侧=2πR·2R=4πR，所以S球=S圆柱侧.

变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？

变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？

变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？

22

活运用.

图1

应

用

举

例

图2 图3 例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形. (1)求该几何体的全面积. (2)求该几何体的外接球的体积. 【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.

【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，

底面是正方形，边长是4，高是2，………………………3分

因此该几何体的全面积是：

2×4×4+4×4×2=64 (cm2), 即几何体的全面积是64 cm2. ……………………… 6分

(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d,球的半径是r, 所以球的半径为r=3. d16164366， …………………………………………………9分

因此球的体积

所以外接球的体积是36π cm3. ………………………12分

44Vr32736

cm3,33课堂1.

球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 8 倍；

学生思考、解答，老师巡视，个别指导，发现共性问题，及时让同学讨论.

巩固所学知识,培养学生的分析和解决问题的能力以及基本的运算能力.

练习

2.

一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的

思考：若把正方体A、B、 C1、D1

连接起来成一个什么图形？这个图思考形的外接球半径等价于什么图形外接球的半径？

题

1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式课堂

323体积为＿＿＿＿＿＿＿cm3. 3.

有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比

1:22:33_____________. 为高三复习做准备

学生小结,可以逐步提学生小高学生自我获取知识4VR3、表面积公式3小结

S4R2

3．熟练掌握球的内切、外接问题

解决此类问题的实质就是根据几何体结,教师完善.

的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.

1、课本P29 B1 2、 2、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为

6，求半球的表面积和体积。

解：作轴截面如图所示，

课下学生独立完的能力.教师完善，使知识更系统化.

CC6， AC2623，

设球半径为R，

作业

则ROCCC

A222成. D'A'DOB'BCC'(6)2(3)29

∴R3，

∴S球4R36，

2A'RAOC'C4V球R336．

3

思考题：

正三棱锥的高为 1，底面边长为26。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。