1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）特级教师教学实录

空间几何体的表面积和体积

学习过程

知识点1：直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算公式

直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积的计算，可以先计算其侧面积，然后加上它们的底面积。

从侧面展开图可知：直棱柱侧面积S直棱柱侧ch．

正棱锥侧面积S侧1ch2．底面周长为c，斜高为h

1(cc)h2 上、下底面的周长分别为c,c，斜高为h

正棱台侧面积S侧知识点2：圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S圆柱侧=2rl，S圆柱表=2r(rl)，其中为r圆柱底面半径，l为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，

侧面展开图扇形中心角为面半径，l为母线长。

3600rl，S圆锥侧=rl， S圆锥表=r(rl)，其中为r圆锥底圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长， 侧面展开图扇环中心角为S圆台表=Rr3600l，S圆台侧=(rR)l，(r2rlRlR2).

知识点3：柱、锥、台的体积计算公式

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体Sh．

棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为S，高为h的棱柱的 版权所有：中华资源库

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体积V棱锥1VSh锥体Sh3．

，所以1V台(S'S'SS)h'3台体的体积公式： （S，S分别上、下底面积，h为高）

11V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h33 →

（r、R分别为圆台上底、下底半径）

知识点4：球的表面积和体积

球的表面积由它的半径R唯一确定，即S球面=4R2. （R为球的半径）

43R球3球的体积也由它的半径R唯一确定，即V= （R为球的半径）

学习结论

1．从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。

2．完全相同的几何体，他们的体积相等。

3．一个几何体的体积等于他个部分的体积之和。

4．解答多面体表面上两点间最短线路问题，一般都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段的长。 典型例题

例1、一个长10厘米、宽3厘米的长方形，以长边为轴，旋转一周，可以得到一个什么样的立体图形？它的表面积、体积各是多少？（取3.14，结果保留整数数位）

解析：（1）表面积：

解法一：S =2πr2+2πrh

=2×3.14×32+2×3.14×3×10

=56.52+188.4

≈245（平方厘米）

解法一的算式：2×3.14×32+2×3.14×3×10中的2×3.14×3是相同因数。3和10是不同因数。根据乘法分配律可得到第二种解法：

解法二：S =2πr×(h+r)

=2×3.14×3×(10+3)

=18.84×13

≈245(平方厘米)

（2）体积：V=πr2h

=3.14×32×10≈283（立方厘米）

例2、有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁些在铁管上缠绕4圈，并 版权所有：中华资源库

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使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm）

解析：把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD，如图所示．

由题意知BC5cm,AB8cm,点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．

AC52(8)225.6(cm)

答：铁丝的最短长度约为25.6cm．

说明：教学是可分步解决：先研究绕1圈时最短长度是多少，绕2圈时最短长度是多少，最后研究绕4圈时最短长度是多少．

例3、在长方体ABCDA1B1C1D1用截面截下一个棱锥CA1DD1，求CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比．

解析：将长方体看成四棱柱ADD1A1BCC1B1，

设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的

1SCADDVSh11的底面积为2体积为．棱锥，

111V1ShSh326．

高为h，因此棱锥CA1DD1的体积1所以棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比为5．

说明：棱柱的体积等于底面积与高的乘积，而长方体的各个面均可以作为底面，因此可以灵活“选底”．

例4、

一个正方体内接于半径为R的球内，求正方体的体积．

解析：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，

设正方体的棱长为a，则2R3a,a23R3．所以，正方体的体积为 版权所有：中华资源库

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Va3(233833R)R39．

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