2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系ppt配用优秀获奖教案

第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；

2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程

教学内容

问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？

师生互动

师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系. 设计意图

新课导入

以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性. 探索新知

1．空间的两条直线位置关师：根据刚才的分析，空系：相交直线：同一平面内，间的两条直线的位置关系有以共面直线有且只有一个公共点；

下三种：①相交直线—有且仅

平行直线：同一平面内，有一个公共点没有公共点

异面直线：不同在任何一个平面②平行直线—在同一平面内，没有公共点.内，没有公共点.③异面直线—不同在任何

一个平面内，没有公共点.

随堂练习：现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直

1

线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也如图所示P50-16是一个正不相交”那么“不同在任何一方体的展开图，如果将它还原为个平面内”是否可改为“不在正方体，那么AB，CD，EF，一个平面内呢”GH这四条线段所在直线是异面学生讨论发现不能去掉直线的有

对.“任何”答案：4对，分别是HG与师：“不同在任何一个平EF，AB与CD，AB与EF，AB面内”可以理解为“不存在一与HG. 个平面，使两异面直线在该平面内”

线位置关系的理解

（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，1所以EH∥BD，且EHBD.2同理FG∥BD，且FG1BD.2因为EH∥FG，且EH = FG，所以

四边形EFGH为平行四边形. 师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD

–

A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC

与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.

2

是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路. 3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条③因为点O可以任意选直线互相垂直.两条互相垂直的取，这就给我们找出两条异面异面直线a、b，直线所成的角带来了方便，具记作a⊥b. 体运用时，为了简便，我们可例3 如以把点O选在两条异面直线的图，已知正方某一条上；

体ABCD

–

④找出两条异面直线所成探索新知

A′B′C′D′. 的角，要作平行移动（作平行（1）哪些棱所在直线与直线），把两条异面直线所成的线BA′是异面直线？

角转化为两条相交直线所成的（2）直线BA′和CC′的角；

夹角是多少？

⑤当两条异面直线所成的（3）哪此棱所在的直线与角是直线时，我们就说这两条直线AA′垂直？

异面直线互相垂直，异面直线a解：（1）由异面直线的定义和b互相垂直，也记作a⊥b；

可知，棱AD、DC、CC′、DD′、⑥以后我们说两条直线互D′C′、B′C′所在直线分别与相垂直，这两条直线可能是相直线BA′是异面直线. 交的，也可能是不相交的，即（2）由BB′∥CC′可知，有共面垂直，也有异面垂直这∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的样两种情形. 夹角，∠B′BA′= 45°. 然后师生共同分析例题

（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论. ①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；

②两条异面直线所成的角

(0,]；

2加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力. 随堂练习

1．填空题：

学生独立完成

答案：.

3

2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以（1）如图，AA′是长方体的∠B′C′A′ = 45°.

一条棱，长方体中与AA′平行的（2）因为AA′∥BB′，所以棱共有

条. ∠B′BC′是异面直线AA′

和BB′ （2）如果OA∥O′A′，OB所成的角. ∥O′B′，那么∠AOB和在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD

=23，BB′= AA′=2，

∠A′O′B′

. 答案：（1）3条. 分别是所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°. BB′，CC′，DD′；（2）相等或因此，异面直线AA′与BC′互补. 所成的角为60°.

2．如图，已知长方体ABCD

–

A′B′C′D′中，AB

=23，AD

=23，AA′ =2. （1）BC和A′C′所成的角是多少度？

（2）AA′

和BC′

所成的角是多少度？

培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构. 固化知识

提升能力

归纳总结

1．空间中两条直线的位置关系. 2．平行公理及等角定理. 3．异面直线所成的角. 学生归纳，教师点评并完善

作业

2.1 第二课时

习案

学生独立完成

附加例题

例1

“a、b为异面直线”是指：

①a∩b =，且a∥b；

②a面，b面，且a∩b =；

③a面，b面，且∩=；

④a面，b面；

⑤不存在面，使a面，b面成立. 上述结论中，正确的是（

）

4

A．①④⑤正确

C．仅②④正确

B．①③④正确

D．仅①⑤正确

【解析】

①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D 例2

如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有

条.

【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线

a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有

∠A′PO =∠B′PO = 25°. ∵∠APA′＞A′PO，

∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条. 例3

空间四边形ABCD，已知AD =1，BD =3，且AD⊥BC，对角线BD =133，AC =，求AC和BD所成的角。

22b a P A a′

A′

O b′

B′

【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M，连EF、FG、GM、ME、EG. 1则

MG

∥

BC

＝

21

EM ∥

AD

＝

2∵AD⊥BC

∴EM⊥MG

在R t△EMG中，有EG()2(113在RFG中，∵EF =BD

24FG113

AC241232)1

2∴EF 2 +FG 2 = EG 2

∴EF⊥FG，即AC⊥BD

∴AC和BD所成角为90°. 【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为

5

相交直线所成角，注意角的范围是(0,]. 2

6