2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学目标

空间点、线、面的位置关系

一、学习内容：必修二

P40～50 二、课标要求：

1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理．

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

三、基础知识

1．平面的基本性质

·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．

·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

2．用集合语言描述点、线、面间的关系

(1)点与平面的位置关系：点A在平面α内记作

，点A不在平面α内记作

. (2)点与线的位置关系：点A在直线l上记作

，点A不在直线l上，记作

. (3)线面的位置关系：直线l在平面α内记作

，直线l不在平面α内记作

. (4)平面α与平面β相交于直线a，记作

. (5)直线l与平面α相交于点A，记作

. (6)直线a与直线b相交于点A，记作

. 3．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

____.共面直线_____.异面直线：不同在_____一个平面内的两条直线.

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

②范围：

四、典型例题分析

1．（2013安徽（理））在下列命题中,不是公理的是

（

）

．．

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A

1//FA，G、H分别为FA、FD的中点．

2.(2008·四川文)如下图，

BE2[来源学科网](1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

【解析】

解法一

(1) 平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF1//AD，由题设与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC21//AD. 知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH21//AD，故GH//BC. 又BC2所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：

1由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EF∥BG. 2由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面，又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．

解法二

由题设知FA、AB、AD两两互相垂直．

如上图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向建立空间直角坐标系A—xyz. (1)设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得

A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)．

→→所以，GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)．

→→于是GH＝BC.

[来源学§科§网Z§X§X§K]又点G不在直线BC上，

所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)C、D、F、E四点共面．理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以

→→→→EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)，EF＝CH，

又C∉EF，H∈FD，故C、D、E、F四点共面．

[来源学&科&网Z&X&X&K][来源学科网]

五、基础练习

1.下列命题：

①空间不同三点确定一个平面；

②有三个公共点的两个平面必重合；

③空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④三角形是平面图形；边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．在正方体ABCD—A′B′C′D′

⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；

⑥垂直于同一直线的两直线平行；

⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；

⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题是________．

【答案】

④【答案】

④[来源:学|科|网Z|X|X|K]

[来源:学|科|网Z|X|X|K]【解析】

由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．

2.如下图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH. (1)求AH∶HD；

(2)求证：EH、FG、BD三线共点．

AECF【解析】

(1)解

∵＝＝2，

EBFB∴EF∥AC. ∴EF∥面ACD.而EF⊂平面EFGH，

且面EFGH∩面ACD＝GH，

∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH. ∴AHCG＝＝3，即AH∶HD＝3∶1. HDGD

EF1GH1(2)证明

∵EF∥GH，且＝，＝，

AC3AC4∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．

令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，

P∈FG，FG⊂平面BCD，面ABD∩面BCD＝BD，

∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．