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球与多面体的切接问题

【高考改编☆回顾基础】

1.【球与多面体的切接、面积与体积】【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为

. 【答案】9

2

2．【球与多面体的切接、面积与体积】【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点SC是球O的直径．SA=AC，SB=BC，都在球O的球面上，若平面SCA⊥平面SCB，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

【答案】36

3.

【球与旋转体的切接、面积与体积】【2017江苏，6】

如图,在圆柱O1,O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1,O2的体积为V1,球O的体积为V2,则是

. V1的值V2



O 

OO2

1 (第3题)

【答案】

3

2

【命题预测☆看准方向】[来源学科网]

球与多面体的切、接问题中的有关几何体的表面积、体积计算，往往与三视图结合考查，一般为选择题或填空题，难度以低、中档为主. 【典例分析☆提升能力】

【例1】已知S,A,B,C是球O上的点SA平面ABC，

ABBC, SAAB1，

BC2,则球O的表面积等于________________．

【答案】4

【解析】

【趁热打铁】如图，一张纸的长、宽分别为22a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________(写出所有正确命题的序号).

①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa. 【答案】①②③④

2【例2】【2018届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知三棱锥SABC的各顶点在一个表面积为4的球面上，球心O在AB上，

SO平面ABC，

AC2,则三棱锥SABC的体积为__________. 【答案】1

32【解析】如图所示,设球的半径为r,则4r4，解得r=1. ∵OC+OA=2=AC，∴OC⊥OA.

∵球心O在AB上，SO⊥平面ABC，

则三棱锥的底面积：

S222ABC1211，

2三棱锥的体积：

V1S311SO11. ABC33

故答案为：

1. 3

【趁热打铁】【2018届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟】如图1，在平面ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2, BDCD,将其对角线BD折成四面体ABCD,如图2，使平面ABD平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为____________

【答案】82

3【例3】有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求2017》的题目，请你解答此题：球O的球心为点O，球O内切于底面半径为3、高为3的圆锥，三棱锥V﹣ABC内接于球O，已知OA⊥OB，AC⊥BC，则三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为_____．

【答案】22 12

【解析】圆锥的母线长为39 =23，设球O的半径为r，则r3r

，

323

【趁热打铁】在封闭的直三棱柱ABC-ABC内有一个体积为V的球.若AB⊥111BC,AB=6,BC=8,AA=3,则V的最大值是(

) 1A.4π

【答案】B B.

C.6π

D.

【解析】由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切. 设球的半径为R,易得△ABC的内切圆的半径为所以Vmax=

-

=2,则R≤2.因为2R≤3,即R≤

,

,故选B. 【方法总结☆全面提升】

1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球的内接长方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长. 2.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．

3.球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为d，常利用直角三角形建立量的关系，R＝d＋r. 222【规范示例☆避免陷阱】

【典例】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(

)

A．2 B．1 C.2 D.2

2

[来源:Zxxk.Com]

【反思提升】球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为d，常利用直角三角形建立量的关系，R2＝d2＋r2. 【误区警示】(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PAa,PBb,PCc,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2a2b2c2求解.