3.1.2 空间向量的数乘运算优秀教学设计

空间向量的数乘运算

城南中学

数学组

莫舒蕙

教材分析：

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高

教学目标

一．双基目标

1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算的性质，会运用上述知识熟练地进行空间向量的运算．

2．理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题．

3．掌握空间的向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质及运算律，会用它解决立体几何中的简单问题．

4．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，会判断两个向量平行或垂直；掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式，并会用这些公式解决有关问题．

5．理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．

6．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)，能够用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及距离问题．

7．在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力．

二.情感目标

让学生经历由平面向量向空间向量推广的过程，感悟运算、推理在探索和发现中的作用，感受理性思维的力量，提高学生的数学素养．

本章重点：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离．

本章难点：用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，能用向量方法证明有关线、面关系的一些定理，并能解决线线、线面、面面的夹角及距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

三.知识脉络：

空间向量及其基本概念→线性运算

→简单应用

↓

↓

实际背景

数量积

↓

基本定理

↓

坐标运算

四

、新课讲解

（1）．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

问题1：两个向量共线，两个向量所在直线是否共线？

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

问题2：共线向量定理定理的充分性与必要性分别是什么？

问题3；为什么要强调其中一个向量不为零向量？

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对空间任一点O，

点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta

①，

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

lPBAa11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

22①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB的中点公式．

当t（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；

（2）利用（2）式可以判定空间任意三点A、B、P共线。

（有三种方式：OPOAtAB，OP(1t)OAtOB，APPB）

例1．设a,b是平面上不共线的向量，AB2akb、

OCBa3b、CD2ab，

若A、B、D三点共线，则k=

。（-8）

例2．如图：ABCD-ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，

判断CE、MN是否共线？

3．向量与平面平行：

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，

那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．空间任意的三向量不一定是共面的

4．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

问题4：共面向量定理定理的充分性与必要性分别是什么？

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①， ①式叫做平面MPxMAyMBMAB的向量表达式．

二

、新课讲解

例3．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

5OPOA2OB2OC，∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

问题5：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵122OAOBOC，

555OP(1z)yOA，

y

O

B

z∴OCOPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，

∴点P与点A,B,C共面．

练习：（1）已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外一点O，给定的下列条件，点P与A、B、M是否共面？

（1）OPOM3OPOA

（2）OP4OAOBOM

（2）OP2OAOBOM

（3）OP例4：习案28的第2题与学案28的第2题

三

、课堂练习

1．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

四、课堂小结

共线向量定理与共面向量定理

五、课后作业

习案二十八

111OAOBOM

333A

E

H

D

G

C

B

F