1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）全国优秀课堂实录

第一课时

柱、锥、台、球的结构特征（一）教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知.（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.[来源:学科网ZXXK]2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征.（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.3．情感、态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.（二）教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括.（三）教学方法通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考空间几何体的结构特征，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.教学环节

教学内容

1．小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过那些？2．你能根据某种标准对下列几何体进行分类吗？（展示具有柱、锥、台、球结构的空间物体）

师生互动

1．学生回忆，相互交流教师对学生给予及时评价.2．教师对学生分类进行整理。分类多面体和旋转体分类，分类二按柱、锥、台、球分类

设计意图

复习引入

以旧导新

1．观察教科书第2页中和图（2）、（5）、（7）、（9），它们各自的特点是什么？

棱柱的结构特征[来源:学科网ZXXK] 在归纳的过程中，可引导学生从围成几何体的面的特征去观察，从而得出棱柱的主要结构特征.1．有两个面互相平行；2．其余各面都是平行四边形；3．每相邻两个四边形的公共边互相平行.引出棱柱概念之前，应注意对具体的棱柱的特点进行充分分析，让学生能够经历共同特点的概括过程.在得到棱柱的结构特征后教师归结棱柱定义，并结合图从分析具体棱柱的特点出发，通过概括共同特点得出棱柱的结构特征.

形认识棱柱有关概念. 例1

如图，过BC的截面截去长方形的一角，所得的几何体是不是棱柱？教师投影例一并读题.有的学生可能会认为不是棱柱，因为如果选择上下两平面为底，则不符合棱柱结构特征的第二条.引导学生讨论：如何判定一个几何体是不是棱柱？教学时应当把学生的注意解析：以A′ABB′和D′DCC′力引导到用概念进行判断上为底即知所得几何体是棱柱.来，即看所给的几何体是否符合棱柱定义的三个条件.教师投影例2并读题.教师引导学生分析得出，例2

观察螺杆头部模型，平行平面共有四对，但能作为有多少对平行的平面？能作为棱柱底面的只有一对，即上下棱柱底面的有几对？两个平行平面.引导学生探究：棱柱的哪些平行的面能作为底面，此时侧面是什么？哪些平行的平面不能作为底面？

通过改变棱柱放置的位置（变式），引导学生应用概念判别几何体.加深对棱柱结构特征的认识. 解析：略

1．观察教材节2页的图（14）（15）它们有什么共同特征？2．请类比棱柱、得出相关概念，分类及表示. 棱锥的结构特征

学生进行观察、讨论、然后归纳，教师注意引导，整理.得出棱锥的结构特征，有关概念分类及表示方法.棱锥的结构特征：1．有一个面是多边形.2．其余各面都是有一个公共点的三分形.

从分析具体棱锥出发，通过概括棱锥的共同特点，得出棱锥的结构特征. 棱台的结构特征

1．观察教材第2页中图（13）、（16），思考它们可以怎样得到？有什么共同特征？2．请仿照棱锥中关于侧面、侧棱、顶点的定义，给棱台相关概念下定义. 教师在学生讨论中可引导学生思考棱台可以怎样得到，从而迅速得出棱台的结构特征.由一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分. 突出棱台的形成过程，把握棱台的结构特征. 圆柱的结构特征

观察下面这个几何体（圆教师演示，学生观察，然柱）及得到这种几何体的方法，后学生给出圆柱的名称及定思考它与棱柱的共同特点，给义，教师给出侧面、底面、轴它定个名称并下定义.的定义.以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面突出圆柱的形成过程，把握圆柱的结构特征.

所围成的旋转体叫做圆柱.圆柱和棱锥统称为柱体.

1．观察下面这个几何体（圆锥）及得到这种几何体的方法，思考它与棱锥的共同特点，给它定个名称并下定义. 圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆锥与棱锥统称为锥体. 突出圆锥的形成过程，把握圆锥的结构特征.

2．能否将轴改为斜边？

下面这种几何体称为圆台，请思考圆台可以用什么办法得到？请在教材图11-9上标上圆台的轴、底面、侧面、母线. 学生1：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分. 学生2：以直角梯形，垂直于底面的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体（教师演示）

师：棱台与圆台统称为台体. 学生1：以半圆的直径所在直线为旋转思，半圆面旋转一圆形的旋转体叫做球体，简称球.（教师演示）

学生2：球上的点到求心的距离等于定长. 教师讲解球的球心、半径、直径、表示方法. 开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解. 开放性设计，学生推理与教师演示结合，培养学生思维发散性与灵活性，加深学生对概念理解. 圆台的结构特征

球的结构特征

观察球的模型，思考球可以用什么办法得到？球上的点有什么共同特点.

归纳总结

简单几何体的结构特征及有关概念. 回顾反思、归纳知学生总结，然后老师补充. 识、提升学生知识、整合能力. 学生独立完成

巩固知识

提升能力

课后作业

备用例题

1.1第一课时

习案

例1

下列命题中错误的是（

）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆

D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

【解析】圆锥的母线长相长，设为l，若圆锥截面三角形顶角为，圆锥轴截面三角形顶角为，则0＜≤. 当≤90°时，截面面积S = 11180°时.截面面积S≤l2sin90l2，故选B. 22121lsin≤l2sin. 当90°＜＜22例2

根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.

（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；

（2）一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形.

【分析】要判断几何体的类型，首先应熟练掌握各类几何体的结构特征.

【解析】（1）如图1，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱.

（2）如图2，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台.

点评：对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要对原平面图形作适当的分割，再根据圆柱、圆

锥、圆台的结构特征进行判断.

例3

把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10cm，求圆锥的母线长.

【分析】

画出圆锥的轴截面，转化为平面问题求解.

【解析】

设圆锥的母线长为ycm，圆台上、下底面半径分别是xcm 、4xcm.作圆锥的轴截面如图. 在Rt△SOA 中，O′A′∥OA，∴SA′∶SA=

1O′A′∶OA，即（y-10）∶y=x∶4x. ∴y=13. 31∴圆锥的母线长为13cm 3图4—1—8 图1

图2

【点评】圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、

直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面.