3.1.2 导数的概念教学内容概述

《导数的概念》教案

教学内容分析

1．导数的地位、作用

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析

教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．

基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．

进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．

教学目的

1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；

2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；

3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；

4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；

5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．

教学重点

通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．

教学难点

使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．

教学准备

1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法；

2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；

3．制作《数学实验记录单》及上课课件．

教学流程框图

教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．

教学的主要过程设计如下：

应用概念

形成概念

由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．

理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．

通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．

复习准备

体会模型

提炼模型

理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．

感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．

从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．

教学过程设计

小结作业

预计时教学内容

间（分）

（1）提问：请说出函数从x1到回答问题后理解：

（1）复习过程应教师活动

学生活动

教学评价

x2的平均变化率公式．

（2）提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？

（3）高台跳水的例子中，在时间（1）f(x2)f(x1)．

使学生明确函数x2x1的平均变化率表（2）f(x1x)f(x1)．

x示．

（3）学生在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状65

段[0,]里的平均速度是零，而实际49态．

上运动员并不是静止的．这说明平均1．复习准备

速度不能准确反映他在这段时间里运

动状态.

设计意图：（4）提问：用一个什么样的量来让学生理解反映物体在某一时刻的运动状态？

平均速度与（5）提问：我们如何得到物体在瞬时速度的某一时刻的瞬时速度？例如，要求物5分钟

区别与联体在2S的瞬时速度，应该怎么解决？

系，感受到（6）我们一起来看物理中测即时平均速度在速度（瞬时速度）的视频：

时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．

（2）应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫．

（4）让学生体会并明确瞬时速度的作用．

（5）学生思考．

（6）学生观看视频并思考．

（7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？

（8）提问：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？

（7）期望或引导答出“是平均速度”．

（9）在学生回答的基础上讲述：

（8）学生回答，得出

真正的瞬时速度根本无法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；

为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小．

“时间间隔越小越好！”

（9）学生体会教师所

讲结论．

（1）向学生提出数学实验任务：

已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t+6.5t+10，请你用计算器完成下列表格中t0=2秒附近的平均速度的计2．体会模型

设计意图：让学生在0.1 信息技0.01 术平台0.001 上，通0.0001 15分钟

过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．

（3）提问：观察你自己的实验记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？ 先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观察．

（4）将学生分四个组，让他们分别完成

0.00001 0.000001

－0.00001

－0.000001

－0.0001

－0.001

－0.01

－0.1

算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势． 数学实验记录单（1）

2（1）学生在TI－nspire CAS上完成以下操作：

（1）应使学生在技术x＞0时，在[2，2+x]

x＜0时，在[2+x，2]内，vh(2x)h(2)

x内，vh(2)h(2x)

xX

v

x

v

平台上（2）学生操作得出如下通过多结果，完成数学实验记次实验录单（1）的填写：

感受到

平均速

度在t

→0时

趋近于一个常数，并理解这个常数

的意

你认为运动员在t0=2秒处的瞬时速度为

（3）让学生讲他所发现m/s．

的规律．

（2）提问：x、g(x)的含义各是什么？

（4）学生分4个组再次实验，分别完成本组的数学实验记录单（2）的填写，并观察平均速度的变化趋势，回答教师的提问．

义．

（2）应使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．

t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单（2）的填

写，说出他们观察的结果，并将4个结果写列在黑板上．

t0=1.6

v→－9.18

t0=1.7

v→－10.16

t0=1.8

v→－11.14

t0=1.9

v→－12.12

t0=2

v→－13.1

在学生实验与观察的基础上指出：

当t趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．

3．提炼模型

设计意图：使学生认识到平均速度当时间10 间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具（1）提问：你认为通过实验所得结果（常数）（1）学生思考，也可以就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？

（2）让学生动笔化简t0=2对应的平

均速度的表达式．（化简结果为4.9t13.1）

（3）引导学生从化简的表达式中发现当△t0时，4.9t13.1－13.1．

（4）让学生动手化简t0=1.6对应的平均速度的表达式．（化简结果为4.9t9.18）

启发学生归纳出结论：△t0时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是讨论．

（2）学生化简t0=2处对应的平均速度的表达式，观察当△t0时平均速度表达式的变化趋势．

（3）学生化简t0=1.6处对应的平均速度的表达式，观察当△t0时平均速度表达式的变化趋势．

（3）学生化简任意时刻

应使学生通过动手计算，得到平均速度在t→0时趋近于一个常数，并且这个常数就是瞬速t0处对应的平均速度的时一个精确值，它与变量△t无关，只与时刻t0有关．

表达式，观察当△t0（5）提问：我们得到了t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的时平均速度表达式的变化趋势．

度．使学生理解极限符号表瞬时速度，能不能用同样的办法，得到t0时的瞬时（4）学生根据教师的讲

体的极限模速度？

解理解平均速度的极限示的意义．

启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一的意义．

起总结出：

型．

fh(t0t)h(t0)

tt9.8t04.9t6.59.8t06.5(t0)． （6）教师讲解：用limt0ht0tht0表示vt常数，即所趋近的limt0ht0tht0今后把这个常9.8t06.5．t数叫做在tt0处，当t趋近于0时，平均速度v的极限．比如，－13.1是在t2处，当△t趋近于0时

h2th2的极限．

t

（1）给出下列图示：

（1）在教师的启发下思考函数的平均变化率与瞬时变化率之间

应使学生从“平均速度的极限是瞬时速度”这个具体的模型中抽象

（2）针对上述图示，教师在启发后提问：

4．形成概念

设计意图：完成从运动物体的瞬时速度到5 函数瞬时变化率的过渡，形

成导数（4）教师给出导数的定义：

的概念并给出定义．

函数f(x)在xx0处的瞬时变化率

通过前面的学习，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→0时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，一般情况下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？

（3）在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的关系后提问：函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？

教师介绍如下的的表示方法：

函数f(x)在x= x0处的瞬时变化率可表示为

f(x0x)f(x0)flim．

x0xx0xlim的关系．

出导数

（2）回的概念，并能理解导数f(x0x)f(x0)flimlim

x0x0xxylim称为yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或f(x0)limx0f(xx)f(x)，即

x0xx0x答教师的提问．

是一个

（3）理解函数导数的概念与导数的极限，明确导数的表示．

f(x0x)f(x0)．

x

表示方法．

（1）提问：你能说说求函数y=f(x)在x= x0处的导数的步骤吗？

教师在学生说的基础上要总结出步骤．

5．应用概念

设计意图：让学生进一步理解导数概5 念，体会导数≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原油温的应用价值，度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

熟悉求导数的步骤．

强调：

第2小时的瞬时变化率为－3，说明在第2小时附近，原油大约以3 C/h的速度下降．

．．．．（3）提出练习：计算3h时原油温度的瞬时变化率，表述你所得结果的意义．

（1）让学生小结并交流． （2）教师总结：

6．小结作业

本节课学习了导数的概念，在这个过程中我们看设计意图：让学生通过总结，进一步体会导数的意5 义及极限的思想，训练学生的概括能力．通过布置作业，巩固所学内容．

到：数学使不可能的事情变成现实；

思考本节课所学内容，可以彼此之间交流自己的小结，（1）使学生不仅能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于知识中的数学思想与方法．

（2）分层次提供作业，是为了满足不同层次学生

的需求．

（1）学生思考并交流求函数在 x0处的导数的步骤．

（1）检查学生是否清楚求导数的步骤．

（2）检查学生能否准确地求出函数在某点的导数．（3）应使（2）讲解例1：

将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第

x(h)时，（2）在教师讲原油的温度（单位:

C）为:f(x)=x-7x+15(02解完后完成教师提出的练习．

（3）求出学生能利用计算结果解f(3)后，回答释导数（即瞬f(3)的意义．

时变化率）的意义．

导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，回答教师提函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．

求导数的步骤大致分为以下三步：

第一步，求函数增量；

第二步，求平均变化率并化简；

第三步，求平均变化率的极限，即导数．

作业：

问. A层：P10/2，3，4．

B层：A层+补充．

（补充）已知y=x．求：

（1）yx03；（2）yx1．

《导数的概念》教案说明

一、教学内容及分析

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．

基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．

进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．

二、教学目标及分析

1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；

2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；

3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；

4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；

5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．

上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想，这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．

三、教学问题诊断

要使学生能通过观察发现运动的物体在某一时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度，一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS功能，可以在较短的时间内解决计算问题，从而使学生有更多的时间用于观察与发现．

另外，从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于具体模型的数量，因此，设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．

四、教法特点及预期效果

本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．