1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案（名师）

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

学习目标：

1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 学习重点：柱、锥、台表面积、体积的计算公式。

学习难点：利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积。

课前预习

（预习教材P23~ P25，找出疑惑之处）

复习：斜二测画法画的直观图中，x轴与y轴的夹角为____，在原图中平行于x轴或y轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于x轴的线段长度保持_____，平行于y轴的线段长度____________.

引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？

课内探究

探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积

问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？

结论：

正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.

新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.

试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？

正六棱柱

正四棱台

正四棱锥

探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积

问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？

新知2：（1）设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即S2r22rl2r(rl). （2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即Sr2rlr(rl).

试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？

新知3：设圆台的上、下底面半径分别为r，r，母线长为l，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即

Sr2r2(rlrl)(r2r2rlrl).

反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？

例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积.

例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)?

[来源:学科网ZXXK]

走进高考

1、（11北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（

）

(A)32

(B)16+162

(C)48

(D)16322

2、（16全国I理）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若图中圆的半径是2，则它的表面积是（

）

（A）17π

（B）18π

（C）20π

（D）28π

3、（13山东，5）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积是

. 4、（13陕西，15）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为

.

5、（13）一个正六棱锥的高为1，其底面是边长为2的正六边形，则该六棱锥的侧面积为

。

14山东，[来源:Z,xx,k.C

课后反思

1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；

2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.

知识拓展

当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加.

课后训练

1、用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为 （ ）

A．2

B．8

C．4

D．8 2. 一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________ cm2. 3、如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．(单位：cm)