3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案设计（一等奖）

第3.1.1节

倾斜角与斜率

【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（二）教学重点

直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. （三）教学难点

斜率公式的推导. 导入

如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.

图1 【课堂结构】

提出问题

①怎样描述直线的倾斜程度呢？

②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

图2 ③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

⑤正切函数的定义域是什么？

⑥任何直线都有斜率么？

⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少? 活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间．．．所成的角α叫做直线l的倾斜角. 可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向. ③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.

⑤教师介绍正切函数的相关知识. ⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率. （倾斜角是90°的直线没有斜率）

⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角. ②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率. ⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=y2y1. x2x1【例题讲解】

例1

已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角; 而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角; 而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°. 解:直线AB的斜率k1=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角; 7直线BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练

已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角. 解:kAB=33233, 10

∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°, ∴直线AB的倾斜角为60°. 例2 如果直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，求直线l′的倾斜角和斜率．

【分析】

画出草图，标记出变化过程，即可直接求出倾斜角，进而利用公式求出斜率．

【解】

如上图所示．∵直线l的倾斜角为150°，∴绕(－1,0)点逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°.

斜率k＝tanα＝tan30°＝3. 3

【规律方法】

求直线的倾斜角主要是根据定义来求．它的关键是根据题意画出图形．

变式训练

1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.

活动:指导学生根据定义直接求解.

解：(1)∵tan0°=0，

∴倾斜角为0°的直线斜率为0. (2)∵tan60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3. (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的(

) A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)

答案：D 例3 (1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)、B(1,3m)的直线的斜率为12? (2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)、B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是60°？

【分析】

利用斜率公式列方程求解．

3m－6【解】

(1)k＝＝12，解得m＝－2. 1－－m(2)k＝tan 60°＝3＝m－－2，

－m－m

解得m＝－－34. 【规律方法】

求直线的斜率的途径有二：一是利用斜率公式；二是利用倾斜角．我们必须熟练掌握这两种形式．

变式2 已知直线l经过两点P(2,1)和P(m,2)(m∈R)．

12(1)求直线l的斜率；(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．

解：(1)当m＝2时，x1＝x2＝2，

∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在．

2－11当m≠2时，直线l的斜率k＝＝. m－2m－22－11(2)∵α＝45°，∴k＝tanα＝1.又∵k＝＝. m－2m－2∴1＝1，即m－2＝1，∴m＝3. m－2例4 已知三点A(0，－1)，B(1,2)，C(2,5)．求证：三点在同一直线上．

【证明】

∵A(0，－1)，B(1,2)，C(2,5)．

2－－∴kAB＝1－05－－＝3，kAC＝2－0＝3，

∴kAB＝kAC，∴A、B、C三点在同一直线上．

变式3 已知A(1,1)、B(3,5)、C(a,7)、D(－1，b)四点共线，求a、b. 解：因为A、B、C、D四点共线，所以直线AB、AC、AD的斜率相等，即kAB＝7－1b－16b－1＝，kAD＝，∴2＝＝.解之得a＝4，b＝－3. a－1－1－1a－1－2例5 已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，又M(2，－3)，N(－3，－2)，求直线5－1＝2，kAC3－1l的斜率k的取值范围．

【分析】

过定点的直线与已知线段的交点问题，常常以形助数得以解决．

【解】

如右图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x3轴垂直的直线．当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，而kPN＝，∴4

k≥.34

又当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，而kPM＝－4，∴k≤－4. 3综上所述，k∈(－∞，－4]∪[，＋∞)．

4变式4 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

4－02－0解：如右图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，

－3－13－1(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.

(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，

∴α的取值范围是45°≤α≤135°

【课堂小结】

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率; （2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；

（3）直线斜率的概念；

（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. 【作业】

习题3.1

A组3、4、5.