利用完全平方差公式进行因式分解ppt课件课堂实录

2.3 运用公式法(第2课时) (一)本课目标

本课时学***方公式分解因式的方法,让学生了解公式特点,掌握运用技巧,熟练地运用公式. (二)教学流程

1.情境导入

一块长为a米的正方形实验田,因需要将其边长增加b米,形成四块实验田( 如图2-3-4所示),以种值不同的新品种. (多媒体显示题目并动画演示图形变化过程) 互动1 (师):你能用不同的形式表示实验田的总面积吗? (生):可以表示为(a+b)2. (生):若将此田分成四块看:还可以表示为:a2+ab+ba+b2,即a2+2ab+b2. (师):很好,于是我们可以得到一个等式:(a+b)2=a2+2ab+b2. (生):还可以表示为a2+2ab+b2=(a+b)2. (师):这位同学说得很好,接下来我们看一看这两个等式: (a+b)2=a2+2ab+b2 ①

a2+2ab+b2=(a+b)2 ②

第一个式子是七年级学过的公式,大家还记得吗? (生):是整式乘法中的完全平方公式的一种. (师):观察这两个式子有何联系? (生):它们是互逆的关系. (师):大家观察②的形式,你知道它是一种怎样的变形过程? (生):因式分解. (师):与此类似a2-2ab+b2=(a-b)2也成立. (师):因此我们把a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2看作是因式分解的完全平方公式. (师):由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来, 那么就可以用baa2-3-4b

来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法. 明确 在实际情境下,通过计算面积得出因式分解的完全平方公式,并通过整式乘法的完全平方公式的比较,加深对因式分解的完全平方公式的认识.了解运用公式法的意义. 2.解读探究

a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 互动2 (师):大家观察上式有怎样的结构特点? (生):所给多项式有三项,其中有两项的符号相同,并且这两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. (师):在以上公式中涉及几个数或式子? (生):在公式中涉及两个数或式子. (师):公式中的a、b分别代表什么? (生):与平方差公式一样,a、b可代表数,也可以代表代数式,这里既可为多项式,也可为单项式. (师):你能用自己语言表述上面的公式吗? (生):两个数(式)的平方和加上(减去)这两个数(式)积的2倍,等于这两个数(式)的和(差)的平方. (师):凡是符合完全平方公式特征的多项式都可以运用公式分解因式. (师):形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式,大家观察此式的结构特点. (生):完全平方式都是二次三项,若以a为字母,则第三项(b2)是中间一项的系数(±ab)的一半的平方.

明确 通过分析公式特征,让学生准确掌握公式,熟练而灵活地利用公式分解因式,了解完全平方式的组成. 例1

把下列完全平方式分解因式: (1)x2+14x+49 (2)(m+n)2-6(m+n)+9 【分析】(1)中可化为x2+2×7×x+72,这里a相当于x,b相当于7, 然后“对号入座”套用公式分解因式;(2)中将(m+n)作为一个整体,此式可化为(m+n)2-2 ×3( m+n)+32,这里a相当于(m+n),b相当于3.

例2

把下列各式分解因式: (1)3ax2+6axy+3ay2 (2)-x2-4y2+4xy

互动3 (师):在(1)中,如何分解因式? (生):此式有公因式3a可提,应先提公因式,再套用公式. (师):说得很好,对于(2),又如何处理呢? (生):先提出“－”号，得-(x2+4y2-4xy),然后再按字母x的降幂排列为-( x2-4xy+4y2),显然括号里的二次三项式恰好满足完全平方公式的条件. 明确

引导学生进一步体会若有公因式要先提公因式,然后分解因式. 例3

已知x2+2x-y2+6y-8=0,且x+y≠2,求x-y的值. 【分析】观察发现,由x2+2x联想到1,由y2和6y联想到9,于是可以把-8拆成1和-9,原式可写成x2+2x+1-y2+6y-9=0,即(x+1)2-(y-3)2=0,使原式变为A2-B2=0的形式,左边可以利用平方差公式再继续分解为(A+B)(A-B)=0的形式,从而由A+B=0或A- B=0求值,因为x+y≠2,所以可求出x-y的值. 3.学习小结

(1)内容总结

通过本节课的学习,你了解因式分解的完全平方公式吗?你了解完全平方式的意义吗?(因式分解的完全平方公式是整式乘法的完全平方公式的逆运用.) (2)方法归纳

如何运用完全平方公式分解因式?(了解公式的结构特征, “对号入座”套用公式.) 4.目标检测

课本第51页随堂练习. 补充:(1)若x=156,y=144,求代数式121xxyy2. 22 (2)若9x2+kx+16是一个完全平方式,则k=_____. (3)已知a+b=1,ab=-12,则a2+b2的值为________. (4)当x取何值时,多项式x2+4x+9取得最小值? 【答案】(1)45000 (2)±24 (3)25 (4)-2 (三)延伸拓展

1.链接生活

链接一:一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”小刚动笔演算许多次,结果正如小明所说,小刚很困

惑,你能运用你所学的知识说明一下其中的道理吗? 【答案】4x2+8x+11=4(x2+2x+1)+7=4(x+1)2+7,而(x+1)2≥0则4x2+8x+11>0. 【点评】通过对代数式的变形,加强对完全平方式的认识及对非负数的再认识,培养学生的结合思维能力. 链接二:某商场有四层,第一层有商品(a+b)2种,第二层有商品a(a+b)种,第三层有商品(a+b)b种,第四层有商品(a+b)3种,则这商场共有商品多少种? 【答案】(a+b+2)(a+b)2种. 【点评】在实际情境下,提高学生应用分解因式解决问题的能力. 2.实践探索

(1)实践活动

①自编几道应用完全平方公式来分解因式的习题, 同学之间写几道完全平方式并互相检查. ②阅读课本第51页了解“智慧数”并会写相应的“智慧数”. (2)巩固练习

课本第53页习题2.5. (四)板书设计

运用公式法

完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 完全平方式:a2+2ab+b2或a2-2ab+b2 例1 例2 例3.