小结与思考优秀教案设计

四户中学

九

年级

数学

教案

使用人：张希凯

课题

备课组成员

一元二次方程复习讲义

课型

主备

复习课

周次

审核

1．理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数；

2．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；

3．明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方解一元二次方程；

4．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；

5．会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。

教学目标

掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用

重 难 点

掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.会解一元二次方程应用题.

教法学法 教学准备

教学过程

二次备课

一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：把b24ac叫做一元二次方程：

ax2bxc0（a0）的根的判别式.

利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：

当0时方程有两个不相等的实根；(1)当0时方程有两个实数根；

当0时方程有两个相等的实数根；

2(2)当b4ac的值小于0时，即：0时方程无实数根.

例1.不解方程判断下列方程跟的情况：

（1）2x28x80

（2）x24x120

（3）2x23x20

解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8 =b24ac=(-8)2-4×2×8=64-64=0 ∵=0 ∴原方程有两个相等的实数根. （2）方程中：a=1,b=4,c=-12 =b24ac=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.

（3）方程中：a=2,b=-3,c=2

=b24ac=(-3)2-4×2×2=9-16=-7 ∵<0 ∴原方程无实数根.

例2.关于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围.

分析：当m－1≠0时，该方程是关于x一元二次方程,要使一元二次方程有实数根，必须0；但当m-1=时，即m=1时，该方程变为6x+2=0，它是一个一元一次方程，所以m1.

解：当m－1≠0时, 即：m1时，该方程是关于x一元二次方程.

∵原方程有实数根

∴0，即：Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋440

解得：m11

711且m1.

7∴m的取值范围是m 例3.

求证：关于x的一元二次方程(k2)x2－2(k1)x＋k1＝0(k3)总有实数根.

证明：∵b24ac=[2(k1)]24(k2)(k1)4(3k)且k3，

∴总有0

∴关于x的一元二次方程(k2)x2－2(k1)x＋k1＝0(k3)总有实数根.

一元二次方程根与系数的关系

1.定理：设一元二次方程ax2bxc0(a0且b24ac0)的两个根分别为x1和x2，则：

cbxx； xx

12a12a特别地：对于一元二次方程x2pxq0，根与系数的关系为：

x1x2p；

x1x2q

注：1此定理成立的前提是0．也就是说必须在方程有实数根时才○．．．．可使用.

2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理，它是由法国数○学家弗朗索瓦·韦达（François Viète；1540年－1603

年12月13日）提出的，韦达是十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例

（1）验证一元二次方程的解是否正确；

例1.不解方程，检验下列方程的解是否正确？

○1x222x1=0 （x121，x221） ○22x23x80

（x1773573，x2）

44b2222

a1c11

a1 解：○1∵x1x2212122， 

x1x2(21)(21)211，

∴x1x2bc，x1x2=

∴x121，x221是方aa程的解. ○2∵x1x277357312b3

444a ∴x1773573，x2不是方程的根. 44（2）已知一元二次方程的一个根，求另一个根；

例1.已知关于x的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根是2，求该方程的另一根. 解：设方程的另一根为x1，则

x1+2=-4，∴x1=-6 ∴方程的另一根为-6. 例2.已知方程4x211x60有一个根是2，求它的另一个根. 解：是它的另一个根是x1，则

2·x1= ∴方程的另一根为63，∴x1=

443. 4113注：本题也可由x1+2=求出x1=

44

（3）已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程；

47和，求这个方程. 52bc解：设所求的一元二次方程为：x2x0，则

aab4727b27 =+（）=，

∴

10a10a52c4728 ·（）=

a51022728x0

∴所求的一元二次方程为：x21010例3.已知一元二次方程的两根分别为即： 10x227x280. 例4.已知一元二次方程的两根之和是10，两根之积是22，求这个方程和这个方程的两个根

bcx0，则

aabbc x1x210，∴10；x1x222

aaa解：设所求的一元二次方程为：x2 ∴所求的一元二次方程为：x210x220

解这个方程得：x153，x253. 例5.已知两个数的和是5，这两个数的积是6，求这两个数. 解：把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知：x1+x25，

x1·x26

∴这个一元二次方程为：x25x60

解这个方程得：x12，x23. ∴所求的两个数分别为2和3. （4）利用根与系数关系求方程中的未知系数；

例6.已知方程2x2kx90的一个根是3，求另一根及k的值. 93, ∴x1=

22k936k6 ∵x1+x2+=, 即：=

∴k6

2222223 ∴方程的另一根为，k的值为6. 2 解：设方程的另一根为x1，则x1·(3)=例7.已知关于x的方程x23xm0的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 解：设方程的两根分别为x1和2x1，由根与系数关系可知：

x1+2x1=

b3==3，即：3x1=3 ∴x1=1， 2x1=2 1acm ∴m=x1·(2x1)=1×2=2 a∴方程的两个根分别是1和2. ∵x1x2（5）利用根与系数关系求代数式的值；

例8.若x1,x2是方程x22x20120的两个根，求下列各式的值：

①x12x22； ②11 ③(x15)(x25)； ④|x1x2|．

；x1x2 解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x22，x1x22012

①x12x22=(x1x2)2-2x1x2(2)22(2012)=4028 ②③2111x1x2==

=20121006x1x2x1x2(x15)(x25)=x1x25(x1x2)25=20122(5)251977

④|x1x2|=(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2)24(2012)22013

注：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x12x22(x1x2)22x1x2，

|x1x2|(x1x2)24x1x2 11x1x2， x1x2x1x2(x1x2)2(x1x2)24x1x2，

x13x23(x1x2)33x1x2(x1x2)， x1x22x12x2x1x2(x1x2)

………

根与系数的关系充分体现了整体代换的思想

教学后记：