24.1 圆教学评价实录

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《直线和圆的位置关系》教案

课题：直线和圆的位置关系 课型：复习（第二轮专题）

授课教师：

刘珍艳 栾城区第五中学 教学目标

：

（一）认知目标

（1）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念。

（2）掌握切线与过切点的半径的关系：切线垂直于过切点的半径；反之，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线（即切线的判定与性质）。

（3）初步了解切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。

（二）能力目标

（4）通过解答涉及切线的有关问题，让学生经历观察、猜想、证明的过程；了解、认识常规证明的分析方法和一些常规辅助线的添法；了解开放性、运动型问题的基本分析思路。

（三）情感目标

（5）通过对开放性、运动型问题的研究，激发学生的探究热情，体会动静的相对性与和谐性。

教学重点：涉及圆的切线的有关证明与推理问题 教学难点：由点的运动与图形的变化衍生出的合情推理问题

教学方法：教师引导下的自主探究 教学手段：几何画板辅助教学

考点分析：根据近几年宜昌市中考对这部分内容的难度设定，把这部分内容定位在中档题（8分左右）。因此，目标和重难点的确定以及题目的选取比较适度，适当作了一定程度的拔高，力求让大部分学生能够有不同程度的收获。

教学过程：

一、投影目标和中考考点及要求，让学生明白这部分内容考什么和怎样考，做到心中有数。关于知识目标，可以适当引导学生作简要回顾。如：直线和圆的三种位置关系以及对应的数量关系；切线的基本性质与判定方法；圆的有关性质等（画板演示）。

二、例题精析

例1

如图：AB为⊙O的直径，C为圆上一点，过点B作直线和过点C的⊙O的切线垂直，垂足为点D，连接BC。 （1）BC是否为∠ABD的平分线？为什么？

（2）

BD交⊙O于点E，连接AE。若BD=14，BE：DE=5：2，求⊙O的半径和线段CD的长。

B

O

A

CD

学生尝试第一问：分析找出添加辅助线的方法，教师设计小问题：（1）连接OC，OC与CD有什么关系？（2）OC与BD有什么关系？（3）要证明BD平分∠ABD，只需要证明什么就可以得到？

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学生口述，教师可板书解答过程。第二问首先让学生独立分析，探索解决的办法。教师可适当作点拨：（1）AE和BD有什么样的关系？（2）AE和CD有什么样的关系？（3）那么OC和AE有什么样的关系？（4）那么半径OC被分成了两部分，怎样求出这两部分呢？（5）怎样有效利用题目的条件？由此，学生能够比较顺利地完成求CD的过程。分析过程中，凡是有价值的思考都应给予鼓励，尽量给学生创造独立思考的时间和空间，发挥学生的主观能动性，教师作适当点拨与方法提炼。

设计意图：第一问旨在考查学生对切线性质定理的掌握程度，是后续内容的扩展的基础;第二问的分析解答有一定的开放性，学生的思路和方法可能不尽相同，从而激发学生的探究热情，扩展学生的思维空间。

例1的变式

已知：如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，BD和过E点的直线CD互相垂直，垂足为D，BD交⊙O于F，且BE平分∠ABD。若F是弧EB的中点，连接AE，EF。

（1）

求证：DC是圆的切线

（2）

试判断EF与AB的位置关系，并加以证明

（3）

求BF：FD的值

B

O

FA

DCE

对于第一问的分析，教师可点拨：（1）辅助线的添加；（2）由于BD⊥CD，因此只需要证出OE∥BD即可；（3）联想到题目的条件，可通过证明∠3＝∠1，从而问题得以解决；对于第二问，学生首先提出猜想，教师引导分析，只需要证出∠2＝∠4，学生的思路得以延续，问题得到解决；对于第三问，教师提出出分析方法：（1）由前面得出的结论（EF和AB平行），你受到了哪些启发：①四边形OEFB是什么样的四边形？那么问题可转化为什么？②由BF=AE，又BF=EF，AB为直径，你想到了什么？学生独立思考后口述分析解答过程。最后由教师作归纳：（1）常见辅助线的作法；（2）对题目中相关信息的有效利用；（3）转化的数学思想方法。

本题是前例题的一个变化，使学生通过对本题的分析处理，掌握类比、归纳的数学思想方法。同时让学生了解开放性问题、图形的运动变化与静止的关系等

问题的基本分析思路。?

三、中考题演练（05年中考第20—2题）

小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：

①反向延长射线OM；

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②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的

两边于点Ａ、B，交射线OM的反向延长线于点C；

③连接CB；

④以O为顶点，OA为一边作∠AOP＝∠OCB．

（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．

（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON＝60°、

OF＝10时，求AE的长．

C

C3OOEFP12AMBAMP第1问图

BN

（第20－2题）

对于本题的分析解决完全可放手让学生自己独立去完成，树立学生学习的信心、激发学生的探究热情。教师可设计小问题（1）∠AOP＝∠OCB有什么作用；（2）可以通过什么途径得到结论？对于第二问，教师可适时说明，角的大小发生了变化，但∠MOP＝∠PON的关系不变，AB和BC的垂直关系关系也不变。教师只从方法上给予指导以及方法的提炼

本题设计意图：第一问旨在考察学生对圆的有关

性质的掌握情况，以及分析、寻求解决问题的办法。

能够较好地挖掘学生思维的广度和深度;第二问有一定的综合性，通过对该问的分析处理，让学生认

识到圆中的有关计算还是可以化归为直角三角形的

有关计算，从而达到解决问题的目的。£

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º四：归纳小结

方法提炼：

（1）切线的基本性质与常用辅助线的添加（2）直线和圆的位置关系与判定以及辅助线的添加方法

（3）问题分析、解决与观察、猜想、证明

（4）图形的变化与动点问题

（5）归纳、类比、转化等数学思想方法

五．巩固提高

N

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如图（1）：在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,点P是边AD上一个动点（点P不与

A重合），过三点A、B、P作⊙O。（以下各图仅供分析用）

（1）作出圆心O的位置（要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）当AP=3cm时，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（图2）

（3）当CD与圆O相切时，求BC被⊙O截得的弦BF的长度?（图3）

BFBFC

C

DAPDAP

图2 图1

BFC

3yx2

4

3

yx24

DAP

图3

设计意图：第一问的尺规作图是一个小知识点，但对于学生来说，方法的选择可以看出掌握知识的灵活程度，同时可以进一步规范作图的几个环节；第二问进一步巩固直线和圆的位置关系的判定方法，同时过程的处理也有一定的灵活性，能够拓展学生的思维；第三问是第二问的进一步延伸，通过类比转化为解直角三角形，从而问题得到解决。对学生来说，是一种能力的提升和方法的归纳。

思路点拨（1）怎样确定圆心的位置，需要作出两条垂直平分线吗？为什么？（2）第二问怎样添加辅助线？怎样求出OE的长？（3）第三问可以类比第二问得到解决。

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六：能力升级（根据学生的实际情况作灵活处理。）

如图：点C在第一象限，以C为圆心，1为半径的⊙C分别与x轴、y轴相切。

（1）

请直接写出点C的坐标，不必说明理由；

（2）

点P是直线y3x2上一动点，PA、PB分别切⊙C于A、B。问：四边形APBC的面4积有最大值和最小值吗？若有，请求出它们的值；若没有，请说明理由。

本题第二问的设计有较强的开放性，通过分析、建立函数模型，达到解决最大、最小问题的目的。从方法上来说很有必要加以提炼。七．作业布置

1、《中考说明》第32—33页12、14题

2、整理学案。对于学有余力的同学可尝试解答上面的能力升级题