12.1 二次根式优质课教案设计

12.1

二次根式（第一课时）

【教学目标】

1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件．

2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质：当a≥0时，(a)2＝a．能运用这个性质进行一些简单的计算．

3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．

［设计意图］本节课是在学生学***方根、算术平方根、立方根的概念，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念，它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础．

【教学重难点】

重点：1、探求二次根式有意义的条件；

2、掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．

难点：1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；

2．理解、掌握、运用二次根式性质（a

）2＝a（a≥0）．

［设计意图］二次根式概念的获得，要让学生经历其抽象的过程，借此培养学生的抽象概括能力，加深学生对二次根式概念的理解．二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力．

【教学过程】

一、问题导入：

问题1：已知正方形的面积为2，则其边长为

．

（1）这个式子你是如何得到？它有什么意义？

∵x2＝2

∴x＝±2

∵x≥0

∴x＝2．

（2）若正方形的面积为5、s时，则其边长分别是多少？

2同样：x＝5、s.

2问题2：若刚才的正方形是由两个完全相同的小正方形沿对角线线剪开，按如图所示方式拼成。如果要求大正方形的边长，需要知道什么条件？

（1）小正方形的边长是1，大正方形的边长是多少？怎么求？

（2）小正方形的边长是2、3时，大正方形的边长又分别是多少？

刚才我们从问题中得到的这些代数式就是我们这一节课要一起学习的二次根式。

它们有什么共同特征？

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归纳：二次根式定义：一般地，式子a（a≥0）叫做二次根式，a叫做被开方数．

延伸：当a＜0时，a有意义吗？为什么？

二、概念解析：

问题3：下列式子中哪些是二次根式吗？为什么？

3（4）a2；（5）a22a1；（6）a. （2）2；（）19；（3）a(a0)；问题4:要使下列式子是二次根式，求实数a的取值。

（1）a；（2）a1；（3）2a1；（4）a21

问题5：要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？

（1）1a1；（2）；（3）a+a+1；（4）a2

aa1［设计意图］在辨析中加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．

二次根式被开方数是非负数，那么当a≥0时，a是什么数？

归纳：二次根式具有双重非负性。

例：若a+b=0，求a和b的值。

变式1：若a+2+b-3=0，求a和b的值。

变式2：若a+2+(b3)2=0，求a和b的值。

我们还学过哪种形式的非负数？你能给出一个变式吗？

三、性质探究：

问题6：2的意义是什么？(2)2等于多少？

2类似地：(4)2＝

；(0)2＝

；（（6）

；12；…，

）＝

；3问题7：从以上的结论中，你能发现什么规律？你能用字母表示这个规律吗？你能说出它的依据吗？

当a≥0时，(a)2＝a．依据是算术平方根的意义．

［设计意图］学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质，培养学生的概括能力．

例2：计算：（1）2222；（2）(a＋b)（a＋b≥0）；（3）(-32)．

3［设计意图］通过这组题的练习，加深对二次根式这一性质的理解和应用，学会灵活运用．

四、小结反思：

分享你本节课的收获。

［设计意图］师生共同总结，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法．

五、拓展延伸：

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问题7：（1）把(a)2＝a（a≥0）反过来，有a＝(a)2（a≥0）．

请利用此性质在实数范围内分解因式：（1）x2－3；（2）x2-22x＋2．

我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？

进一步将研究二次根式的加减乘除运算．

六、作业布置：

（1）伴你学95页。

（2）拓展题：无论x取任何实数，式子x26xm都有意义，求m的取值范围。

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