2.1.4 平面与平面之间的位置关系主要内容及教案内容

空间中直线、平面之间的位置关系

【学习目标】

1.了解空间中两条直线的三种位置关系，并能对直线的位置关系进行分类、判断；

2.掌握平行公理及等角定理，并由此知道异面直线所成的角的概念和异面直线垂直的概念；

3.了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系．

【要点梳理】

要点一：空间两直线的位置关系

1.空间两条直线的位置关系：

(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；

(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 3.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

要点诠释：

（1）异面直线具有既不相交也不平行的特点．

（2）异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平面内”误解为“不同在某一平面内”，例如下图甲中，直线a，直线b，a∥b，不能由a、b不同在平面内就误认为a与b异面，实际上，由a∥b可知a与b共面，它们不是异面直线．

（3）“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如下图甲所示，也可以是相交直线，如下图乙所示．

（4）画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如下图甲、乙、丙所示．

4.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内．

5.平行直线：

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

符号表示为：a//b，b//ca//c. 公理4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用. 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

6.异面直线所成的角：

b'//b，直线a、b是异面直线，经过空间中一点O，分别引直线a'//a，相交直线a＇、b＇所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b形成的角，如右图所示．当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直. 要点诠释：

异面直线所成角的取值范围是090；

求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. 要点二：直线和平面的位置关系

1．直线和平面的位置关系

（1）直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行. 如果直线a和平面平行，记作a//. （2）直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交. 如果直线a和平面相交于点A，记作aA. （3）直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作a. 2．直线与平面位置关系的分类

（1）按公共点个数分类

直线与平面相交—有且只有一个公共点

直线在平面内—有无数个公共点直线与平面平行—无公共点（2）按直线是否在平面内分类

直线在平面内

直线与平面相交

直线不在平面内（直线在平面外）直线与平面平行3．直线与平面位置关系的图形表示和符号表示

位置关系

符号表示

图形表示

直线a在平面内

直线a与平面相交

（直线不在平面内）

aA

直线a与平面平行

（直线不在平面内）

a

a//

要点三：两个平面的位置关系

1．两个平面的位置关系

（1）两个平面平行——没有公共点．

（2）两个平面相交——有一条公共直线（或至少有一个公共点）．

2．两个平面位置关系的图形表示和符号表示

位置关系

两平面平行

图形表示

符号表示

公共点个数

无公共点

//

斜交

两平面相交

垂直

a

有一条公共直线

且a

有一条公共直线

3．两个平面平行的画法

画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如下图（1），而（2）的画法是不恰当的．

4．两个相交平面的画法

（1）先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如下图（1）．

（2）再画出表示两个平面交线的线段，如下图（2）．

（3）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图（2）中表示交线的线段，如下图（3）．

（4）画出上图（3）中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图上（4））．

要点四:反证法

所谓反证法就是证明原命题的结论的反面错误，得出结论正确，从而间接地证明原命题正确．

反证法证题的一般步骤：假设结论的反面成立，据此推出矛盾，从而断定原结论正确．

如果结论的反面情况只有一种，则只需将此否定驳倒，即可达到反证的目的，这种比较单纯的反证法称为归谬法；如果结论的反面情况不止一种，则必须将其逐一驳倒，才能推出命题结论的正确．

【典型例题】

类型一、空间两条直线的位置关系

例1．过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

【解析】证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即不同在任何一个平面内，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的．因此，必须找到一个间接方法来证明，反证法即为一种行之有效的好方法．

如右图，已知a，A，B，Ba．

求证：直线AB和a是异面直线．

证明：假设直线AB和a不是异面直线，则AB与a一定共面，设为，则a，B．

∵Ba，∴由公理2的推论1，即经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面，可知直线a与点B可确定一个平面，即为，则与重合．

∴A∈，这与已知A矛盾．∴AB与a是异面直线．

【总结升华】（1）本例的结论是一个重要的定理，即异面直线的判定定理．由此可知，判定两条直线为异面直线的常用方法有：

①定义法：不同在任一平面内的两条直线．

②定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线．

③推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线．

④反证法：反证法是证明立体几何问题的一种重要方法．证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即原命题的结论成立．

（2）运用异面直线的判定定理来判定异面直线的方法可概括为“两点一线一面”．但应注意：①“两点”均在“线”外；②“线”在“面”内，③“两点”中“一点”在“面”内，“另一点”在“面”外．

举一反三：

【变式1】

已知三条直线a、b、c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？试画图说明．

【答案】直线a与c的位置关系有三种情况：

可能平行，如下图（1）；可能相交，如下图（2）；可能异面，如下图（3）．

【变式2】

如下图，已知：

a，b，a∩b=A，且c，c∥a，求证：b、c为异面直线．

【证明】假设b、c不是异面直线，即b、c为共面直线，则b、c为相交直线或平行直线．

（1）若b∩c=P，已知b，c，又a，则Pb，且Pc，从而，交点P一定在平面、的交线上，即P∈a，于是a∩c=P，这与已知条件a∥c矛盾，因此b、c相交不能成立．

（2）若b∥c，已知a∥c，则a∥b（公理4），这与已知条件a∩b=A矛盾，因此b、c平行也不能成立．

综合（1）（2）可知，b、c为异面直线．

【总结升华】反证法在立体几何证明题中应用很普遍，我们应该弄清两个问题：一是什么样的题型适合用反证法；二是反证法实际上是证明命题的等价命题．要注意若原命题的结论反面的情况不止一种时，必须将其逐一否定，才能推出命题结论的正确性．

类型二、平行公理与等角定理的应用

例2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，

求证：（1）EF//E1F（2）∠EA1F=∠E1CF1．

1；

证明：（1）连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EF//11BD．同理，E1F1//B1D1．

22在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1//DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，因此，BD//B1D1，

又EF//11BD，E1F1//B1D1，所以EF//E1F1．

22（2）取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1//B1C1，又B1C1//BC，所以MF1//BC．所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BM∥CF1．

因为A1M11A1B1，BEAB，且A1B1//AB，所以A1M//BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，22则BM∥A1E．因此CF1∥A1E，同理可证A1F∥CE1．

因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F=∠E1CF1．

（在证明∠EA1F=∠E1CF1时，还可以通过证明△A1EF≌△CF1E1来实现，由于EF=E1F1，所以只需要证明A1F=CE1，A1E=CF1，这些只需要在这些边所在的直角三角形中，利用勾股定理即可证明）．

【总结升华】求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用公理4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；二是证明在同一平面内，这两直线无公共点，求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

举一反三：

【变式1】

已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点．

求证：∠BEC=∠B1E1C1．

证明：如右图，连接EE1，

∵E1、E分别为A1D1、AD的中点，∴A1E1//AE，

∴四边形A1E1EA为平行四边形，．∴A1A//E1E．

又∵A1A//B1B，∴E1E//B1B，

∴四边形E1EBB1为平行四边形，

∴E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．

又∠C1E1B1与∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1=∠CEB．

类型三、异面直线所成的角

例3．由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体，如下图1，在正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当得选取一点，作出异面直线CF，DE

的平行线，并作出异面直线CF与DE所成的角．

【解析】解法1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点D．伸展平面ACD，在该平面中，过点D作DM∥CF交AC的延长线于M，连接EM可以看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角．如图2．

解法2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E．在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连接ND，可以看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角．如下图3．

解法3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：①该平面包含直线DE；②该平面与CF相交于点F．在平面ADE中，过点F作FG∥DE与AE相交于点G，连接CG，可以看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如上图4．

解法4：选取平面BCD，该平面有如下特点：①该平面包含直线DE；②该平面与CF相交于点C．伸展平面BCD，在该平面内过点C作CK∥DE与BD的延长线交于点K，连接FK，则CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角．如图5．

【总结升华】（1）两条异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线所成的角来解决的．这里我们要注意：两条异面直线所成的角的范围是0°＜≤90°，当=90°时，这两条异面直线互相垂直．求两条异面直线所成的角的关键是作出与这两条异面直线分别平行的相交直线所成的角．作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条直线平移到某个位置，使其与另一条直线相交或将两条异面直线同时平移到某个位置，使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当的位置．一般提倡像解法2、解法3那样作角，因

为此角在几何体内部，易求．

（2）本例多方位、多角度思考问题，思路开阔，运用知识灵活．如我们异面直线所成的角的问题大有裨益，所以，同学们要认真理解．

举一反三：

【变式1】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，则EF和CD所成的角是(

) A．60°

B．45°

C．30°

D．90°

【答案】B 【解析】连接B1D1，则E为B1D1中点，

AB1，

又CD∥AB，∴B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即B1AB45．

故选B

例4．如图：三棱锥A—BCD的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC=AB=4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．

连接AB1，EF

若此三棱锥的体积为32，求异面直线AE与DC所成角的大小．

3【思路点拨】取BC中点F，连接EF，AF，则∠AEF为异面直线所成的角，根据棱锥的体积和勾股定理，中位线定理求出△AEF的三边长，计算∠AEF．

【答案】60°

1ABAC8，

21832∴三棱锥体积VSABCDADA，∴DA=4．

333【解析】∵DA⊥平面ABC，SABC∴BDAB2DA242,CDDA2AC242，

设BC中点为F，连EF，AF，

则EF111CD22,AFBC22,AEBD22．

222∴△AEF是正三角形，∴∠AEF=60°．

∵E是DB中点，则EF∥DC，∴∠AEF是AE与DC所成角．

即异面直线AE与DC所成角的大小为60°．

【总结升华】求异面直线所成的角主要是用定义法求解，其步骤：

（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择处于特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点．

（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．

（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形．

（4）取舍：因为异面直线所成的角的取值范围是0°＜≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．

举一反三：

【变式1】过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（

）．

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

【答案】D 类型四、直线与平面的位置关系

例5．下列命题中正确命题的个数为（

）

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；

②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；

③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；

④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．

A．0

B．1

C．2

D．3 【答案】B 【解析】对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的两条直线，其位置关系除了平行之外，还有异面．如下图（1）中正方体ABCD-A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD，

A1B1与BC的位置关系是异面，并且容易知道，异面直线A1B1与BC所成的角为90°，

因此命题①是错误的．

对于③，如上图（1），∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD，AB平面ABCD，A1D1，A1B1平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与已知平面平行，而是有无数多条．可以想象，经过平面A1B1C1D1内一点A1的任一条直线，与平面ABCD的位置关系都是平行的，∴命题③也是错误的．

对于④，我们可以继续借助正方体ABCD- A1B1C1D1来举反例，如上图（2），分别取AD，BC的中点E，F，A1D1，B1C1的中点G，H，顺次连接E、F、H、G，∵E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，∴可以证明四边形EFHG为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分为二，A，D两个点到该截面的距离相等，直线AD∩平面EFHG=E，∴命题④也是错误的．

对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系

是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直．

∴正确的命题只有一个，∴应选B．

【总结升华】对于直线与平面位置关系的命题真假的判断问题，要注意想象空间图形，要把直线与平面的各种位置关系都考虑到，特别是有些极端情形．

正方体（或长方体）是立体几何中的一个重要又最基本的模型．而且立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称．本例中的命题①③④就是利用这个“百宝箱”来判定它们的真假的．

举一反三：

【变式1】下列命题中正确的个数是（

）．

①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于过b的任何一个平面；

②如果直线a满足a∥，那么a与平面内的任何一条直线平行；

③如果直线a、b满足a∥，b∥，则a∥b；

④如果直线a、b和平面满足a∥b，a∥，b，那么b∥；⑤如果a与平面内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面．

A．0

B．2

C．1

D．3

【答案】C 类型五、平面与平面的位置关系

例6．在以下四个命题中，正确的命题是（

）．

①平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；

②平面内有无数条直线和平面平行，则与平行；

③平面内△ABC的三个顶点到平面的距离相等，则与平行；

④平面内的两条相交直线和平面内的两条相交直线分别平行，则与平行．

A．③④

B．②④

C．②③④

D．④

【答案】D

【解析】如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，对于①，平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1．但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．

对于②，在正方体ABCD—A1B1C1D1的面AA1D1D中，与AD平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错的．

对于③，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错的．

命题④是正确的，故选D．

【总结升华】构造相关图形，利用空间图形的形象、直观来说明两个平面的位置关系，说服力强，令人信服，需要注意的是在作图时必须把问题涉及的各种情况都考虑清楚，而无遗漏．利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，因此我们要灵活地运用这个“百宝箱”来判定两个平面的位置关系．另外，像判定直线与直线、直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面的位置关系的有效方法，特别是在刚刚接触它之时．

举一反三：

【变式1】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（

）

A．平行

B．异面

C．相交

D．平行或异面

【答案】D 【解析】本题主要考查两平面平行的特点．当两平面平行时，这两个平面没有公共点，分别在这两个平面内的直线也必然没有公共点，因此它们不是平行就是异面．

【总结升华】两个平面平行的主要特点就是它们没有公共点，这一重要特点是解题时常用的结论．

例7．（1）将一个三棱锥的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？

（2）将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？

（3）将一个正方体的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？

【答案】（1）15；（2）21；（3）27．

【解析】（1）如下图（1），将三棱锥的各面延展成平面后，三棱锥的内部是一个空间；由于平面ABD，平面ABC，平面ACD的延展，由这三个平面在几何体的外部，即平面BCD的下方会分割出一个空间，即平面BCD对应一个空间，同理，平面ABD，平面ABC，平面ACD也各对应几何体外部的一个空间，这样的空间有4个；同样，将上述三个平面延展后，在顶点A的上方，也分割出一个空间，像这样，顶点B、C、D各对应类似的一个空间，这一类共有4个空间；将这四个面所在平面延展后，几何体的外部，即棱AB将对应一个空间，同理其余的5条棱各对应类似的5个空间，这一类共有6个空间．因此三棱锥的各面延展后，可将空间分成1+4+4+6=15部分．

（2）如上图（2），将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后，将两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7=21部分．

（3）可取玩具魔方作为实物图，可以设想正方体是魔方正中间的正方体块，空间就是魔方形状，把正方体各面延展成平面后，分割空间的块数恰好是27，即魔方被分割的块数．

【总结升华】这一类题关键是合理想象，本题从三种不同的角度解决问题，（2）中的方法是一种简单有效的方法，（1）（3）问均可用此法解决．