习题4.1课堂实录

直线和圆的方程

课

题：小结与复习（二）

教学目的：

1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系

3．会用二元一次不等式表示平面区域

4．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用

5．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题

6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程概念.理解圆的参数方程

7．结合教学内容进行对立统一观点的教育

8．实习作业以线性规划为内容，培养解决实际问题的能力

教学重点：常规解题方法

教学难点：综合解题思路 授课类型：练习课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞直线名称

点斜式

斜截式

已知条件

直线方程

使用范围

示意图

P1(x1,y1),k

yy1k(xx1)

k，b

k存在

k存在

ykxb

(x1,y1)两点式

（x2,y2)

截距式

一般式

yy1xx1

x1x2,y1y2

y2y1x2x1xy1

ab

a,b

a0,b0

A、B不全为0

AxByC0

2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题第11题：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是

答案：用代数的方法研究图形的几何性质

王新敞王新敞二、讲解范例：

第

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直线和圆的方程

题型一：“设而不求”解法技巧应用

例1

已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径

分析：

利用“OP⊥OQ”求出m，问题可解

王新敞王新敞解：

将x32y代入方程x2y2x6ym0，得

5y220y12m0

设Px1,y1、Qx2,y2，则y1,y2满足条件：y1y24,y1y2m12

5∵

OP⊥OQ,

∴x1x2y1y20,而x132y1，x232y2，

∴x1x296y1y24y1y2，

∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（-15，3），半径r

22王新敞点评：

在解答中，我们采用了对直线与圆的交点设“设而不求”的解法技巧，由于“OP⊥OQ,”即等价于“x1x2y1y20,”所以最终应考虑用韦达定理来求m。另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑

y

1题型二：弦长的计算及应用

例2 已知一圆C的圆心为（2，-1），且该圆Ox王新敞被直线l：x-y-1=0 截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程

分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其它问题易解

C(2,-1)王新敞王新敞2解：设圆C的方程是x2y1r（r>0），

22则弦长P=2r2d2，其中d为圆心到直线x-y-1=0的距离，

∴P=2r222=22，∴r4，

222圆的方程为 x2y14 王新敞

第

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直线和圆的方程

由

xy10 ，解得弦的二端点坐标是（2,1）、（0,-1）

22(x2)(y1)4王新敞∴过弦二端点的该圆的切线方程是

2xy4x2y10xy1210和0x1y4210

2222即

y1和x0

王新敞点评：在圆中，对弦长的计算有两种方法：一用弦长公式P1k2x1x2。二用勾股定理P2r2d2，注意根据已知条件选用。本题中的切线方程若结合图形极易得出

王新敞

题型三：直线与圆的综合问题

例3

已知直线l1：mx-y=0 ，l2：x+my-m-2=0

王新敞（1）求证：对m ∈R，l1与

l2的交点P在一个定圆上；

（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一交点为P2，求当m在实数范围内取值时，ΔPPP12面积的最大值及对应的m

王新敞分析：

请试从做1l与

l2的图形，分析l1与

l2的位置入手解题

王新敞解：（1）l1与

l2分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，

∴

l1与

l2的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：

x(x2)y(y1)0

即

x2y22xy0

王新敞（2）由（1）得

P、P，

1（0,0）2（2,1）∴ΔPPP12面积的最大值必为152rr

24王新敞

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直线和圆的方程

此时OP与PP12的夹角是1，∴

m=3或

34王新敞点评：涉及多条曲线位置关系问题，要注意运用图形分析方法，用图形的直观来避免代数运算的盲目性和复杂性

三、课堂练习：

王新敞 1．已知直线l:yxb,曲线c:y1x2有两个公共点，求b的取值范围

王新敞yxb(y0)

22xy1,王新敞消去x得2y22byb210,(y0)

王新敞l和c有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，于是

4b28(b21)0解得1≤b＜2为所求

b0b210王新敞点评：此题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组有解的判定问题.此题也可直接画出图形来判断.即在同一坐标系内作出l:yxb及y1-1Oc:y1x的图形(如图)易得b的取值范围是１≤ｂ＜2

21x-1王新敞2.求下列两条直线的交点.l1:3x4y20，l2:2xy20

解:解方程组3x4y20x2

得2xy20y2王新敞所以, l1:3x4y20，l2:2xy20的交点是M(-2,2)

王新敞点评:求方程组的解难度并不大,但体现了将平面几何的两条直线相交问题转化为代数的二元一次方程组求解问题,要求学生注意体会其中的数形结合思想

王新敞3.求经过原点且经过l1:x2y20,l2:2xy20两条直线的交

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直线和圆的方程

点的直线的方程

王新敞 解:解方程组x2y20x2

得2xy20y2王新敞所以,

l1:x2y20,l2:2xy20的交点是(2,2)

王新敞设经过原点的直线方程为ykx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k1,所以所求直线方程为yx.

王新敞点评:求解直线方程也可应用两点式: y0x0,即yx.

2020王新敞4．求直线yx3被抛物线y2x2截得的线段之长. 分析一：将直线方程与抛物线方程联立，求得直线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长

王新敞yx3解法一：由

2y2xx332x332或解得

y632y632王新敞即直线与抛物线的交点为A（3+32，6+32）、B（3-32，6-32），

∴｜AB｜=(332)(332)(632)(632)=12

22王新敞∴所截线段之长为12. 分析二：设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，

22则由｜AB｜=(x2x1)(y2y1)及y1x13，y2x23

2得｜AB｜=2(x2x1)2(x1x2)24x1x2

王新敞故可回避求直线与抛物线的交点坐标，直接由韦达定理整体求值，一般地，直线被二次曲线所截得的弦长问题都可用这种“设而不求”的技巧求解

王新敞2解法二：设直线yx3与抛物线y2x的交点坐标

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直线和圆的方程

为A(x1,y1),B(x2,y2)，则由方程组yx3y2x2，得x6x90，

2x1x26∴

xx91王新敞又∵A(x1,y1),B(x2,y2)都在直线y=x+3上，

∴y1x13，y2x23, 22∴｜AB｜=(x2x1)(y2y1)2(x2x1)2

2(x1x2)24x1x22624(9)＝12 ∴所截线段之长为12. 点评：这样既简化了运算，又提高了准确率，请同学们予以掌握 四、小结

：“设而不求”解法技巧应用

弦长的计算及应用

直线与圆的综合问题

相交及求交点的问题

五、课后作业：

王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞六、板书设计（略）

王新敞七、课后记：

1．圆的切线的求法

若点（x0，y0）在圆xa+yb=r的外面，则切线方程为222，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，yy0kxx0（斜率存在时）求出k，当斜率不存在时，结合图形求出

王新敞若点（x0，y0）在圆xyr上，则切线方程为xx0yy0r2

222王新敞若切线斜率为k，则圆x2y2r2的切线方程为ykxr1k2

王新敞2．有关直线与圆的位置关系问题，为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系筒化运算过程

王新敞

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