2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优质课教案整理

直线和平面垂直

蕨溪中学校---阮林

教学目的：

1理解直线与平面垂直的定义；

2掌握直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程；

3应用直线与平面垂直的判定定理解决问题

教学重点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程

教学难点：直线与平面垂直的判定定理内容及论证过程 内容分析：

本节包括两个知识点：直线和平面垂直及正射影和三垂线定理空间除平移和平行射影的性质外，第二个重要性质就是空间的镜面对称直线与平面的垂直的特征性质是研究空间对称性的基础细心分析直线和平面判定定理的证明过程就可以看到，证明的过程就是由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程这一小节要特别重视判定定理的教学，要向学生指出定理证明过程的本质三垂线定理是由直线和平面垂直判定定理得出的一个最重要的空间图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的教学，减弱围绕三垂线定理的解题训练这是因为我们有更有效的向量工具处理空间的垂直问题 直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判定“直线与平面垂直”的判定定理而直线与平面是否垂直根据判定定理的要求，必须具备条件“a⊥b，a⊥c，b∩c＝B，bα，cα”才能得到结论“a⊥α”，至于为什么在上述条件下一定能得到“a⊥α”这一结论便是本节课的一个主要内容

教学过程：

一、复习引入：

1直线和平面的位置关系

观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，a//

aaaA

2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线

平行，那么这条直线和这个平面平行

推理模式：l,m,l//ml//

lm3线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

推理模式：l//,l,ml//m

二、讲解新课：

1 定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α

画法：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直

说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）

②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足

③

a⊥等价于对任意的直线m，都有a⊥m

利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质

2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

即

若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n，则l⊥

已知：m、n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n

求证：l⊥

分析：在内平移m，n，使它们都通过点B，这时m，n仍保持和l垂直过点B作任一条不与m，n重合的直线g，如果我们能根据l⊥m且l⊥n推出l⊥g，那么就证明了直线l和过点B的所有直线都垂直，即l垂直

为此，我们在l上自点B起于平面的两侧分别截取BA=BA′，于是m，n都是线段AA′的垂直平分线，它们上面的点到A、A′的距离相等

如果我们能证明g上的点到A、A′的距离也相等，那么g也是AA′的垂直平分线，于是g就垂直于l

在g上任取一点E，过点E在内作不通过点B的直线，分别与m，n相交于点C、D，容易证明△ACD≌A′CD，进而又可证明△ACE≌△A′CE

于是EA=EA′，g⊥l

一般地：

证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且，

lm,ln求证：l

证明：过点B作m//m,n//n

∵lm,ln

∴lm,ln，

过B任作直线a，在l上于平面两侧分别截取BABA，

∴m,n都是AA的垂直平分线，

∴ADAD,ACAC，

在a上任取点E，过E在平面内作不通过B的直线分别

与m,n相交于点C,D，

∴ACDACD，

∴ACDACD，又ACAC，

∴ACEACE，∴AEAE

∴al，∴l．

三、讲解范例：

例1

求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

已知：a∥b,a⊥

ab求证：b⊥α

证明：设m是内的任意一条直线

aam

mbma//bbmm本题的作用：要证b⊥，没有办法？而已知a∥b，只需证a⊥即可，在证题时起转移作用，但具体要证a⊥还需其他方法

例2

过一点和已知平面垂直的直线只有一条

已知：平面和一点P

求证：过点P与垂直的直线只有一条

证明：不论P在平面内或外，设直线PA，垂足为A（或P）

若另一直线PB，设PA,PB确定的平面为，且a

PBBaAP∴PAa,PBa

A

又∵PA,PB在平面内，与平面几何中的定理矛盾

所以过点P与垂直的直线只有一条

例3

有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）C,D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？

解：在ABC和ABD中，

∵AB8m,BCBD6m,ACAD10m

∴ABBC6810AC

222222AB2BD26282102AD2

∴ABCABD90

即ABBC,ABBD

又∵B,C,D不共线

ACBD∴AB平面BCD，即旗杆和地面垂直；

例4

已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l

求证：AP在α内

证明：设AP与l确定的平面为β如果AP不在α内，

则可设α与β相交于直线AM

∵l⊥α，∴lAM

又AP⊥l，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的

所以AP一定在α内

四、课堂练习：

1．选择题

（1）“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的

（ ）

（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（2）如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（ ）

（A）l

（B）l⊥

（C）l∥

（D）l或l∥

答案：（1）B (2)D 2．填空题

（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；

平行平面有 个.

（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个. 答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一

3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？

能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？ 答案：（能，而且有无数条） （不能）

4一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，这条直线垂直于这个平面吗？为什么？

答案：不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内.

5拿一张矩形的纸对折后略为展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直

答案：因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线.

6、求证：一条线段的垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等

通过一条线段中点并且与这条线段垂直的平面，叫做这条线段的垂直平分面

五、课后作业：

六、小结

：今天这节课，我们学***面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面，那么l就垂直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路