习题2.1名师教学设计

《直线与方程》小结与复习

一、【教学目标】

重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．

难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．

能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．

教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．

自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；

2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；

3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．

考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目．

易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．

易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．

拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．

学法与教具

1．学法：讲练结合，自主探究

2．教具：多媒体课件，三角板

二、【知识梳理】

定义

直线的倾斜角

范围

直线的倾斜角与斜率

定义

直线的方程

直线的斜率

公式

点斜式

斜截式

直线方程的五种形式

两点式

截距式

一般式

平行的判定方法

平行与垂直的判定

垂直的判定方法

两直线相交

求交点坐标

点与点的距离

两条直线的位置关系

三种距离计算

点与线的距离

平行线的距离

点关于直线对称

直线对称问题

直线关于直线对称

直线关于点对称

二、【知识梳理】

1．直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．

②倾斜角的范围为______________．

（2）直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即

k________，倾斜角是90的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式：

经过两点P当x1x2时，P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k______________________．1(x1,y1)，直线的斜率__________．

（3）直线的倾斜角与斜率k的关系

当为锐角时，越大k越____；当为钝角时，越大k越____．

2．直线方程的五种基本形式

名称

点斜式

几何条件

过点x0,y0，斜率为k

方程

局限性

不含__________的直线

斜截式

斜率为k，纵截距为b

过两点x1,y1和x2,y2

不含__________的直线

两点式

（x1x2,y1y2）

横截距为a，纵截距为截距式

不含__________的直线

bab0

不含________和_______的直线

一般式

A,B,CA2B20

平面直角坐标系内的直线都适用

答案：1．（1）

①

正向，向上，0

；②

0180；

（2）

①

正切值，tan；

②

y2y1，不存在．

（3）大，大．

x2x1xyyy1xx122，1，AxByC0(AB0)．

y2y1x2x1ab2．yy0k(xx0)，ykxb，垂直于x轴；垂直于x轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点．

3．两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1//l2____________．特别地，当直线的斜率l1、l2都不存在时，l1与l2________．

（2）两条直线垂直

如果两条直线斜率l1、l2存在，设为k1、k2，则l1l2____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．

4．两直线相交

交点：直线l1：AA2xB2yC20的公共点的坐标与方程组1xB1yC10和l2：的解一一对应．

相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解；

平行方程组________；

重合方程组有______________．

5．三种距离公式

（1）点Ax1,y1、Bx2,y2间的距离：

A1xB1yC10A2xB2yC20AB

．

（2）点Px0,y0到直线l：AxByC0的距离：

d

．

（3）两平行直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20

（C1C2）间的距离为d______________．

6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？

三、【范例导航】

1、两直线间的平行与垂直问题

例1 （1）已知两直线l1：xm2y60，l2：m2x3my2m0，若l1//l2，求实数m的值；

2（2）已知两直线l1：ax2y60和l2：xa1ya10．若l1l2，求实数a的值．

【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1//l2k1k2，l1l2k1k21．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

（2）①若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2k1k21．

②设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20．则：l1l2A1A2B1B20．

【解答】（1）方法一：①当m0时，l1：x60，l2：x0，l1//l2；

162m2xyx，

：，

l2m2m23m312m62由2且2，

m3mm3∴m1．

故所求实数m的值为0或1．

方法二:直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的等价条件是：

②当m0时，

l1：yA1B2A2B10且B1C2B2C10或AC12A2C10，由所给直线方程可得：

13mm2m20且12m6m20mm22m30且m3

m0或1，故所求实数m的值为0或1．

a（2）方法一：由直线l1的方程知其斜率为，

2当a1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；

1当a1时，直线l2的斜率为，

a1a12由．

1a2a132故所求实数a的值为．

3方法二: 直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20垂直的等价条件是A1A2B1B20．

22由所给直线方程可得：a12a10a，故所求实数a的值为．

33【设计意图】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关系的问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二避免了分类讨论．

变式训练:已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10．试确定m、n的值，使

（1）

l1与l2相交于点Pm,1；

（2）

l1//l2；

（3）

l1l2，且l1在y轴上的截距为1．

m28n0答案：（1）由题意得：，解得m1,n7．

2mm10（2）当m0时，显然l1不平行于l2；

2m8nm820当m0时，由得，

2m181mn0

m4m4∴，或．

n2n2即m4,n2时或m4,n2时，l1//l2．

n（3）当且仅当m28m0，即m0时，l1l2，又1，∴n8．

8即m0，n8时，l1l2且l1在y轴上的截距为1．

2、点到直线距离问题

例2 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是xy10,3xy40,且它的对角线的交点是M(3,3),求这个平行四边形其他两边所在直线方程．

【分析】因为斜率相等,所以其他两条直线可以设为

yDxyc10,3xyc20,然后利用点到直线的距离公式．

【解答】四边形ABCD是平行四边形

AB//CD

设直线CD的方程为xyc10

由点M到直线AB,CD的距离相等，得：AMCxOB|331|1122|33c1|1122

解得c111或c1（舍去）

c111

1同理，由点M到直线AD,BC的距离相等，得：

|3334|3122|333c2|3122

c216或c24（舍去）

c216

因此，其他两边所在直线的方程是

xy110,3xy160．

【设计意图】本题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法简化运算．

变式训练：已知正方形的中心为点M(1,0)，一条边所在

的直线的方程是x3y50,求正方形其他三边所在直线的方程．

【分析】本题先设与已知直线平行的直线为x3yc10,

另两条都与已知直线垂直，设为3xyc20,

然后利用点到直线的距离公式．

【解答】四边形ABCD是正方形

AD//BC

BAyDMxOC

由点M到直线AD,BC的距离相等，得：

|(1)305|1322|(1)30c1|1322

c17或c15（舍去）

c17

ADAB

直线AB的方程可设为3xy2

c0,由点M到直线AD,AB的距离相等

|(1)305|1322|3(1)0c2|3122

c29或c23

综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是3xy90,x3y10,3xy30．

3、三角形问题

例3.

已知ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50,AC边上的高BH所在直线方程为x2y50．求：

（1）顶点C的坐标；

（2）直线BC的方程．

【分析】第一问主要是考查设、求直线AC，

熟练解答过程，先设直线AC为：2xyc0

然后代入点A(5,1)；第二问考查用先设、求点B，

然后与点C求出直线BC，或者设直线BC的点斜式方程，

再结合中点坐标公式求出斜率k．

【解答】(1)由题意，得直线AC的方程为2xy110．

解方程组yCAHxOM2xy50,

得点C的坐标为（4，3）．

2xy110Bx05y01（2）解法一：设B(x0,y0),则M(,)．于是有

22y1x05050,即2x0y010．与x02y050联立，解得点B的坐标为(-1,-3)．

2于是直线BC的方程为6x5y90．

解法二：设直线BC的方程为y3k(x4)，即kxy34k0．

8k11k3x2y50,y解方程组．

,得x2k12k1kxy(4k3)09k8k4,)．

因为点M是线段AB的中点，所以点M的坐标是(2k12(2k1)18k16k4650．解得k．

把点M的坐标代入直线CM的方程，得52k12(2k1)所以直线BC的方程为6x5y90．

解法三：设M(x,y)，则B(2x5,2y1)．

因为点B在直线BH上，所以有2x52(2y1)50,即x2y40．

x2y40,得点M的坐标为(2,1)，点B的坐标为(1,3)．

2xy50所以直线BC的方程为6x5y90．

解方程组【设计意图】本题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，利用两点求直线的方程，另外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点B，就避免了考虑斜率存在的问题，摆出事实，让学生体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下基础．

变式训练：

在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x2y10，角A的平分线所在的直线方程为y0，

若点B的坐标为(1,2)，求AC边上的垂直平分线．

【分析】直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的关系，或者利用点关于坐标轴对称，求出点B关于y0对称的点(1,2)，也易求直线AC．

【解答】A点在直线BC的高线上，又在角A的平分线上

yBx2y10,

得A(1,0)

y0所以kAB1,而直线y0是角A的平分线，所以kAC1,

所以AC边所在的直线方程为y(x1)

又kBC2,所以BC边所在直线方程为y22(x1)

由AC与BC的直线方程联立可得C(5,6)

所以AC边上的垂直平分线所在的直线方程为xy50．

由4、最值问题

例4．已知点M(3,5)，N(2,15).在直线l:3x4y40

xAOC上找一点P,使|PM||PN|最小，并求出最小值．

【分析】本题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问题的结合，由平面几何知，先作出与点M关于l对称的点M'，连结NM'，直线NM'与直线l的交点P即为所求．事实上,若点P'是l上异于P的点，则|P'M||P'N||P'M'||P'N||NM'||PM||PN|．

【解答】设与M(3,5)关于l对称的点是M'．

34kl,

kMM',

434MM'的方程为y5(x3)，即4x3y30．

33x4y40x0解方程组,得,

4x3y30y1'yNMP'PxO线段MM交直线l于Q(0,1)．

Q是MM'的中点，M'的坐标为(3,3)．

M''连结NM的直线方程为18xy510．

8

x,18xy510解方程组

,得33x4y40y3.8点P坐标为(,3)．此时，|PM||PN||PM'||PN||NM'|(32)2(153)2513．

3【设计意图】本题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两边之和大于第三边的问题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使||PM||PN||最大．

l

变式训练：

函数yx21x24x8的最小值为_______________．

【分析】本题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用，

把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题，

把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是

把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反，

体现了数形结合的重要的数学思想．

【解答】把yyBAx1x4x8变形为

22

xOA'

y(x1)2(01)2(x2)2(02)2

(x1)2(01)2(x2)2(02)2表示动点P

P(x,0)到两定点A(1,1)、B(2,2)的距离之和．

作点A(1,1)关于x轴的称点A'(1,1)

|PA||PB||PA'||PB||BA'|

y(21)2(21)210

函数y有最小值为10．

四、【解法小结】

1．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．

（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．

（2）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．

2．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1//l2k1k2，l1l2k1k21．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．

3．在运用两平行直线间的距离公式d等的系数．

4．两直线平行时，直线可设为axbyc10,axbyc20，两直线垂直时，直线可设为C1C2AB22时，一定要注意将两方程中的x，y项系数化为分别相axbyc10,bxayc20，可以简化运算．

五、【布置作业】

必做题：

1．已知直线l1：k3x4ky10与l2：2k3x2y30平行，则k的值是

．

2．若直线l1：ykx4与直线l2关于点2,1对称，则直线l2恒过定点是

．

3.

已知2xy50，则x2y2的最小值是 ．

4．设直线l经过点1,1，则当点2,1与直线l的距离最大时，直线l的方程为 ．

答案：1 ．3或5；2．0,2；3．5；

4．3x2y50

选做题：

1．已知直线l:kxy12k0kR．

（1）证明直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，求使2.已知直线l：2x3y10，点A1,2．求：

（1）点A关于直线l的对称点A的坐标；

（2）直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；

（3）直线l关于点A1,2对称的直线l的方程．

答案：

1．（1）定点AOB面积最小时直线l的方程．

2,1；（2）0,；（3）x2y40．

33y22x113x132.

【解答】（1）设Ax,y，由已知，解得：，

4x1y22y3101322334∴A,

1313（2）在直线m上取一点，如M2,0，则M2,0

关于直线l的对称点M必在直线m上．设对称点

a2b0231022630，得M,Ma,b，则，

b0213131a232x3y10设直线m与直线l的交点为N，则由得N4,3．

3x2y60又∵m经过点N4,3，，∴由两点式得直线m的方程为9x46y1020．

（3）方法一

在l：2x3y10上任取两点，如M1,1，N4,3，则M,N关于点A1,2

的对称点M,N均在直线l上，易得M3,5，N6,7，再由两点式可得l的方程为2x3y90．

方法二

∵l//l，∴设l的方程为2x3yC0C1，

∵点A1,2到两直线l，l的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：得C9，∴l的方程为2x3y90．

方法三

设Px,y为l上任意一点，则Px,y关于点A1,2的对称点为P2x,4y，

∵点P在直线l上，∴22x34y10，即2x3y90．

【设计意图】复习课由于内容较多，难以把涉及全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以灵活把握，有时间可以讲解，对称有两方面，主要学习以下两点：

26C23222612322，解

（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．

（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．

六、【教后反思】

1．本教案的亮点是：

在原教案的基础上，对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换．教学内容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法的差别．渗透相关点代入法，以及数形结合等思想方法．

2．本教案的不足是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显点关于线对称与线关于点对称问题，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．