习题4.1优秀教案范文

圆的方程习题课教案

教学目标：

1.知识与技能

会求圆的方程，会根据斜率，距离，截距求最值问题，会求点的轨迹问题。

2.过程与方法

探究.归纳.提炼

3.情感态度价值观

培养学生数形结合与转化化归思想

教学重点：会求圆的方程，会根据斜率，距离，截距求最值问题

教学难点：利用距离斜率求最值问题与求动点的轨迹方程

教学过程：

一：基础知识

自主学习

知识梳理：让学生通过完成下列表格，熟悉本单元的知识要点。

1.

圆的定义与方程

（1）.圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

（2）.圆的方程

标准方程

圆心（

）

半径

圆心（

）

半径

2.

点与圆的位置关系

（1）.确定方法

比较点与圆心的距离与半径的大小关系。

（2）.三种关系

圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²，点M(x0,y0）。

点在圆上

点在圆内

点在圆外

一般方程

1

二：热点命题

深度剖析

让学生通过解决下列题型，熟悉本单元在高考中会以怎样的题型出现，用什么样的思想方法解决。

考点一

求圆的方程

（1）

经过三点（2，-1）（.5，0）（.6，1）的圆的一般方程为x2+y2-4x-8y-5=0。

解析：设所求的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

22+（-1）2+2D-E+F=0

D=-4 则

52+02+5D+0+F=0

解得

E=-8

62+12+6D+E+F=0

F=-5

故所求圆的一般方程为x2+y2-4x-8y-5=0.

（2）

圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为23，则圆C的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=4.

解析：因为圆心在直线x-2y=0上，且圆C截x轴所得的弦长为23

所以可设圆心坐标为（2a,a），则（2a）2=a2+（3）2

解得a=+1，又圆C与y轴的正半轴相切，

所以a=1，

故圆C的标准方程为（x-2）2+（y-1）2=4.

【规律方法】

求圆的方程的两种方法

（1）

待定系数法

○1若已知条件与圆心（a,b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；

○2若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D,E,F的方程组，进而求出D,E,F的值。

（2）

几何法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程

考点二

与圆有关的最值问题

2

与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题，中档题，且主要有以下几个命题角度：

角度一：斜率型最值问题

1.

已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则y的最大值为3，最小值为-3。

x解析：原方程可化为（x-2）2+y2=3，表示以（2，0）为圆心，3为半径的圆

则y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率

xy=k，即y=kx x

所以设

当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，

此时2k0k^21=3

解得k=+3

如图，

O

所以

角度二：截距型最值问题

22已知实数x,y满足x+y=4（y≥0），则m=3x+y取值范围是（B）

2.

y的最大值为3，最小值为-3。

xA．（-23，4）

B.[-23，4] C. [-4，4] D. [-4，23] 解析：由于y≥0，所以x2+y2=4（y≥0）是上半圆，

，且斜率为-3，在y轴上截距为m 3x+y-m=0是直线（如图）又当直线过点（-2，0）时，m=-23

m≥-23

m≥-23

所以

即

d≤r

-m2≤2

3

解得m∈[-23，4] 答案B 角度三：

3.

设P（x,y）是圆（x-2）2+y2=1上的任意一点，则（x-5）2+（y+4）2的最大值为（D）

A.6 B.25 C.26 D.36 解析：因为圆（x-2）2+y2=1上的点到（5，-4）的距离为5 所以圆（x-5）2+（y+4）2的最大值为36 答案D 【规律方法】与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型

（1）

形如μ=yb形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最xa值问题。

（2）

形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。

（3）

形如（x-a）2+（y-b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。

考点四 与圆有关的轨迹问题

例2 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为园内一点，P,Q为圆上动点。

（1）

求线段AP中点的轨迹方程；

解析：设AP的中点为M（x,y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）. 因为P点在圆x2+y2=4上，所以（2x-2）2+（2y）2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1. （2）

若∠PBQ=90o,求线段PQ中点的轨迹方程。

解析：设PQ的中点为N（x,y）. 在Rt△PBQ中，PN=BN，

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以

OP2=ON

2+PN2=ON

2+BN

2，

4

所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 【规律方法】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

（1）

直接法，直接根据题目提供的条件列出方程

（2）

定义法，根据圆，直线等定义列方程；

（3）

几何法，利用圆的几何性质列方程；

（4）

代入法，找到要求点与已知点的关系，带入已知点满足的关系式等。

三 思想方法

感悟提升

○11个条件——二元二次方程表示圆的充要条件

二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0。

○22种方法——求圆的方程的两种方法

（1）

待定系数法：若已知条件与圆心（a,b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值。

（2）

几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

○3三个性质——确定圆的方程时，常用到圆的三个性质

（1）

圆心在过切点且垂直切线的直线上；

（2）

圆心在任一弦的中垂线上；

（3）

两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

课后作业

1.

求经过点A（4，-1），且与圆x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B（1，2）的圆的方程；

2.

已知点P（x,y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点

（1）

求P点到直线3x+4y+12=0距离的最大值和最小值；

（2）

求x2+y2的最大值和最小值；

5

（3）

求x-2y的最大值和最小值；

（4）

求y2的最大值和最小值. x11 3.已知一曲线是两个定点A（0，0），B（3，1）距离比为

的点的轨迹，2求这个曲线的方程。

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