复习参考题教学设计

多面体的外接球问题探究

一、

教学目标

知识与技能：掌握球的基本性质，理解正方体，正三棱锥等特殊几何体的外接球球心的位置，理解并熟练应用补形法和直接法求简单多面体的外接球半径。

过程和方法：通过探究正方体、直棱柱、正三棱锥等外接球球心的位置，引导学生由特殊到一般，掌握求多面体外接球半径的通法。

情感态度与价值观：通过引导学生感受知识的产生过程，激发学生的学习欲望，使学生形成解决空间问题的基本思路；通过对方法的归纳总结，让学生构建出自己的思想方法。

二、

教学重点、难点

教学重点：根据多面体的特征，应用补形法和直接法求多面体的外接球半径。

教学难点：培养学生敏感的空间想象能力和较强的绘图能力，并借助图形应用补形法和通法解决多面体的外接球半径问题。

三、

学情与教学内容分析

球是空间几何体中一个特殊的旋转体，近年来作为全国卷中出题的热点，常与多面体相结合，对外接问题进行考查，特别是三棱锥的内切外接球问题。题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，但设问方式多种多样，对空间想象能力的要求较高。

大部分学生因为空间想象力能力较弱，常对球的问题感到无从下手，突破这一难点的实质就是图像语言的解读与应用。本节课的主要突破手段是从正方体、正三锥等特殊几何体的外接球问题出发，引导学生形成解决问题的基本思路，归纳总结出解决简单多面体外接球常用的补形法和直接法。

四、

教学过程设计

教学步教师活动

骤

球是空间几何体中一个特殊的旋转体，近年来高考题常把球与多面体相结合，对外接问题进行考查.多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，但设问课题导入

方式多种多样，对空间想象能力的要求较高.

解题的方法主要有两种.一是补形，利用特殊的直棱柱求外接球半径；二是直接法，首先确定球心位置，然后构造直角三角形求外接球半径.

听讲

课题高考考情分析，指出解决该课题相关问题常用的方法。直奔主题，激发学生的学习兴趣

学生活动

设计意图

基础知识回顾：

43V1.球的体积公式

球



R

.

32S4R球面2.球的表面积公式

. 3.球与多面体的外接：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球

. 4.球的性质

课题导入

（1）用一个平面去截球，截面是

圆面

；用一个平面去截球面，截线是

圆

. （2）大圆截面过

球心

，半径为球的半径；小圆截面不过

球心

. （3）球心到截面圆心连线垂直于截面，球心到截面的距离d与球半径

R，截面半径r的关系为

d



R



r

.

类型一：直棱柱的外接球

探究一：若正方体的棱长为a，则正方体的外接球直径＝22思考，全体学生口头作答

知识准备

3a. 2221．

思考、讨论：为什么体对角线的中点即为正方体和长方体的外接球球心

2．

个别学生口头回答问题

从解决基本模型外接球问题入手，从学生熟悉的几何体开始，为进一步学习做准备。

问题：若长方体的棱长分别为a,b,c则长方体的外接探究活动（一）

球直径＝

a



b

. c

结论一：正方体或长方体的外接球直径等于它的体对角线长，球心为体对角线的中点. 练1：（2017天津理10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______________. 探究二：若直棱柱存在外接球，探究其球心的位置？

结论二：

直棱柱的外接球球心位于上下两个底面多边形外心连线的中点.

探究活动（二）

例1. 1在直三棱柱1．思考、讨论：直棱柱要理解直棱柱存在外接球的条件是底面必须有外接圆，利用外接球的定义确定其球心的方法，能用相关结论解决问题

92ABC-A1B1C1中，存在外接球需要满足什么条件？

2．思考例题，个别学生展示例题答案

ABC=90

,AB=3,BC1,CC123

,



,体积则它的外接球的表面积为

1632

. 为

3

例1.2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，

ACBC43,AB8,AA14，则三棱柱ABCA1B1C1外接球的

1.

思考，讨论：这道例题中，

根上一道题的区别与联系分别是什么？如何利用这种联系解决问题

2.

自主应用所掌握的解A'

表面积为

88



变式：已知直三棱柱例题与变式

ABCA1B1C1由特殊到一般，通过例题与变式归纳解决直棱柱外接圆的直接法

AC1,BC2,AB5,AA14，

则三棱柱表面积为

ABCA1B1C1外接球的

26题方法解决变式

BAC如何求直棱柱的外接球半径呢？

（1）先找外接球的球心，是连接上下两个多边形的

归纳小结

外心的线段的中点；

（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。

注意：底面三角形的外接圆直径可用正弦定理求得

类型二：三棱锥的外接球

探究三：若正四面体的棱长为a,则正四面体的外接球

D归纳总结

形成结论方法

63a的体积为________. 8解法一：直接法

解：正四面体的棱长为a,

探究活动（三）

BC1.

思考、讨论：正三棱锥的定义

2.

思考、讨论：正三棱锥的外接球球心的位置应该在哪？

3.

个别学生口头回答解题方法

4.

除了直接找到球心进而求半径的方法，还有什么其它解题方法？

从解决基本模型外接球问题入手，从学生熟悉的几何体开始，为进一步学习做准备。

则底面正三角形的外接圆半径r为

A3ra3R6而正四面体的高ha3663a体积Va482外接圆半径R2（hR）r2解法二：补形法

例2.1在三棱锥DABC中，DABC4，DBAC5,DCAB11,则三棱锥DABC外接球的表面积例题与变式

AC

1.

思考，讨论：能用直接法解出该三棱锥的外接球半径吗？

2.

思考、讨论：该三棱锥为________26.DDACB

有何特点？结合补形法能让你想到了什么？

3.

思考：什么样的三棱锥的外接球问题能用相同的方法来解决？

B归纳结论

结论三：三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体

例2.2(2017·广州一模)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（nào）．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球

20O的球面上，则球O的表面积为________.

例题与变式

结论四：有侧棱垂直于底面的三棱锥可补成直棱柱

变式：已知三棱锥

1

A平面ABC,A1ABC中，A1.

思考，讨论：能用直接法解出该三棱锥的外接球半径吗？

2.

思考、讨论：该三棱锥有何特点？结合补形法能让你想到了什么？

3.

思考：什么样的三棱锥的外接球问题能用相同的方法来解决？

4.

自主完成变式练习，个别学生演示作答。

解决一个几何体的外接球可能有多种办法，让学生发挥想象，提出各种方法，通过比较生成对三棱锥外接球问题的认识，逐步形成三棱锥外接球的解题思路。

ACBC43,AB8,AA14，则三棱锥A1ABC外接球的表面积为

88

.

例2.3某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（

）

1.

思考，讨论：能用直接法解出该三棱锥的外接球半径吗？

2.

思考、讨论：该三棱锥

有何特点？结合补形法能让你想到了什么？

3.

什么样的三棱锥的外接球问题能用相同的方法来解决？

例题与变式

20A．5

B．328C．8

D．3

结论五：不是特殊棱锥，不能补形为直棱柱，只能用

直接法，找球心，构造直角三角形解出半径。

求三棱锥外接球半径的方法：

（1）补形法（适用特殊三棱锥）

①三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体

归纳小结

②有侧棱垂直于地面的三棱锥可补成直棱柱

（2）直接法（通法）

关键是找球心，

构造与R有关的方程（勾股定理）。

1、求直棱柱的外接球半径的方法

（1）先找外接球的球心，是连接上下两个多边形的

外心的线段的中点；

（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。

注意：底面三角形的外接圆直径可用正弦定理求得求课堂总结

2、三棱锥外接球半径的方法：

（1）补形法（适用特殊三棱锥）

①三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体

②有侧棱垂直于地面的三棱锥可补成直棱柱

（2）直接法（通法）

关键是找球心，

构造与R有关的方程（勾股定理）。

归纳总结

总结出本节课的中点，让学生对照检验自己该堂课的收获。

归纳总结

形成结论方法

板书设计

课题：多面体的外接球问题探究

一．基础知识回顾：

类型一：直棱柱的外接球

例题及变式

类型二：三棱锥的外接球

例题及变式

43V1.球的体积公式

球



R

.

32S4R球面2.球的表面积公式

. 3.球的性质：球心到截面圆心连线垂直于截面，球心到截面的距离d与球半径

R，截面半径r的关系为



d

R



r

.

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