4.3.2 空间两点间的距离公式教案2

4.3.2空间两点间的距离 教案

教学目的： 1.

理解空间内两点间距离公式的推导过程,会用空间两点间的距离公式解决问题。

2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题。

3.探究空间两点间的距离公式,

通过猜想，培养学生类比、迁移和化归的能力。

教学重点：空间直角坐标下两点间距离公式及其应用。

教学难点：两点间距离公式的推导

教材与学情分析：本节内容是在学生已经初步掌握空间直角坐标系中任一点的坐标求法基础上；利用平面两点间距离公式类比、迁移进行新知学习，部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑。因此在教学中要关注不同层次的学生的学习和发展，并尽量降低难度以利于学生掌握基础知识。

教学过程

一、复习提问

1、设平面上两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

如何求两点之间的距离P1P2？

2、如图，OABC－D’A’B’C’是单位正方体，求点B’

关于x轴对称点的坐标，关于y轴对称点的坐标。

二、新课讲授

1、求空间中两点间距离的引入

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？

2、

空间中两点间距离公式的推导

（1）先求点P（x，y，z）到坐标原点的距离。

思考1:

在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A（x，0，0），B（0，y，0），

C（0，0，z），与坐标原点O的距离分别是什么？

|OA|=|x| |OB|=|y| |OC|=|z|

思考2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A（x，y，0），B（0，y，z），

C（x，0，z），与坐标原点O的距离分别是什么？

|OA|=x2+y2|OB|=y2+z2,|OC|=x2+z2思考3: 在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别是什么？

M(x,y,0) |PM|=|z|

|OM|=x2+y2思考4: 基于上述分析，你能得到点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式吗？

|OP|=x2+y2+z21

结合图形推导如下：设点P在xOy平面上的射影是B（PB垂直平面xOy），点B坐标为（x，y，0）。

∣OB∣＝x2y2，∣OP∣＝OBPB，

由∣PB∣＝z，得：∣OP∣＝x2y2z2，

思考5: 在空间直角坐标系中，方程x+y+z=r（r>0为常数）表示什么图形是什么？ 222222

（2）求空间任意两点间的距离

设点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是

空间中任意两点，且点P1，P2在xOy平面

的射影分别为M，N，那么M，N坐标为

M（x1，y1，0），N（x2，y2，0），

思考1: 点M、N之间的距离如何？

|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2思考2: 若直线P1P2垂直于xOy平面，则点

P1、P2之间的距离如何？

|P1P2|=|z1-z2| 思考3: 若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离如何？

|P1P2|=|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2思考4: 若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2的距离如何计算？

思考5: 在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是

∣P1P2∣＝＝(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

它对任意两点P1、P2都成立吗？

结合图形推导：在xOy平面上，∣MN∣＝(x1x2)2(y1y2)2

过点P1作P2N的垂线，垂足为H，则∣MP1∣＝∣z1∣，∣NP2∣＝∣z2∣

所以，∣HP2∣＝∣z1－z2∣，∣HP1∣＝∣MN∣＝(x1x2)2(y1y2)2，

∣P1P2∣＝P1HHP222＝(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2，因此，空间中两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）之间的距离为：

∣P1P2∣＝＝(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

教师评析、学生交流：类比平面两点间的距离公式，有什么不同？有何相似之处？通过对比已经熟悉的公式来记忆新的公式，能加深印象。

2

例题讲解：

例1

在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之间的距离.

例2

已知两点 A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P的坐标.

例3

如图，点P、Q分别在棱长为1的正方体的对角线AB和棱CD上运动，求P、Q两点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点的位置.

课堂练习：（1）教材P150 第1、2题

（2）深化练习

1．点M(3,4,1)到点N(0,0,1)的距离是( AA．5

C．3

)

B．0 D．1 2．空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点有( A ) A．2个 B．1个 C．0个 D．无数个

3.设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于( A ) A．10 C．6 B．4 D．2 5．到两点A(3,4,5)，B(－2,3,0)距离相等的点M(x，y，z)的坐标满足的条件是( B ) A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0 C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10x－2y＋10z＋37＝0 6.正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2,－1),B(3,－2,3),则正方体的体积是( C ) A.16 B.192 C.64 D.48 二、填空题 357．已知P(，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z22＝0或－4. 8．在空间直角坐标系下，点P(x，y，z)满足x＋y＋z＝1，则动点P表示的空间几何体的表面积是 _ 4π ．

222教师课堂总结：

课外作业：（1）教材P151 1、3 B组1 （2）补充作业：

1．已知A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，求B，C两点的距离．

3

由已知得C(1,2,1)、B(1，－2,1) ∴d(B，C)＝＝4，

即B，C两点间的距离为4. 2．试在坐标平面yOz内的直线2y－z＝1上确定一点P，使点P到点Q(－1,0,4)的距离最小．

设P(0，y,2y－1)，则 |PQ|＝＋2－2＋＋2＋－2＋y＋2y－2＝5y－20y＋26. 2当y＝2时，|PQ|min＝6，此时P(0,2,3)．4