3.2.2 直线的两点式方程主要内容及教案内容

3.2.2 直线的两点式方程

一、教学目标

1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；

2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力. 3.情感态度价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.

二、教学重点：1.掌握直线的两点式方程及应用；2.掌握求直线方程的两种基本方法. 三、教学难点：两点式方程的建立，待定系数法的应用，综合性问题的解决. 四、教学过程：

（一）创设情景，引入新课

复习回顾：让学生回答上节课学习的直线方程的两种形式：点斜式及斜截式方程，并明确已知及方程适用条件. 问题导入：利用点斜式、斜截式可求直线方程，若不知k，只知两个点，能否求直线方程呢？

思考：利用直线的点斜式方程解答下列问题：

3ly2(x1)] （1）已知直线l经过两点P，求直线的方程。[(1,2),P(3,5)122（2）已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程。

（二）讲授新课

1、直线的两点式方程：

问题解答：因为x1x2，所以ky2y1，由直线的点斜式方程，得：

x2x1yy1y2y1yy1xx1(xx1)，因为y1y2，所以(x1x2,y1y2)为直线的两点x2x1y2y1x2x1式方程。

说明：（1）这个方程由直线上两点确定；

（2）当直线没有斜率或斜率为0时，不能用两点式求出它们的方程。（此时方程如何得到？）

思考：若点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方程是什么？

1

（1）当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：xx1；

（2）当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1。

2、直线的截距式方程：

例1、如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

分析：由直线的两点式方程得：程。

其中，直线与x轴交点 (a , 0) 的横坐标a叫做直线在x轴的截距。

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线。

3、例题巩固：

例2、已知三角形的三个顶点A（–

5，0），B（3，–

3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

31分析：BC边所在直线的方程：由两点式方程即得：5x

+ 3y

–

6 = 0；BC的中点为M(,)22y0xaxy1，为直线的截距式方abb00a（中点坐标公式），所以AM所在直线的方程为：x + 13y + 5 = 0。

拓展：（1）求BC边上的高线AH所在直线的方程；

（2）求线段BC的垂直平分线的方程。

例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 44当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)代入上式得k ,即直线方程为yx

55xx当截距均不为0时，设直线方程为1

aa把P(-5，4)代入上式得a1

直线方程为xy1

即xy10

4

综上：直线方程为yx或xy10

5例4 已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程。

2

xy1(a0,b0) ab12因为直线过(1,2),则1

abab4,即ab8

三角形面积为4，则2解法一：设直线截距式是联立解得a2,b4

xy所以直线方程为1,即2xy40

24解法二：设所求直线方程是ykxb(k0)

因为直线过A(1,2),所以2kb,则b2k

所以所求直线方程是ykx2k

直线在x轴的截距是k2

k直线在y轴的截距是2k

又直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积是4 1k24

所以有(2k)2k解得k2

故所求直线方程是y2x4

（三）课堂练习：

课本P97，练习1，2，3。

补充练习：

1、下列四个命题中的真命题是（ ）

（A）经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示；

（B）经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程

(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示；

（C）不经过原点的直线都可以用方程xy1表示；

ab（D）经过定点的直线都可以用ykxb表示。

2、若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( )

3

3.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 4、（1）已知点A (7 , – 4)，B (– 5 , 6)，求线段AB的垂直平分线的方程。

（2）求过点P (1 , 2) 且到两坐标轴的截距相等的直线方程。

（3）求过点P (1 , 2) 且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小的直线方程。

（四）归纳小结：

（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？

（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

名

称

条

件

直线过点P点斜式

斜率为k

图

示

方程形式

适用范围

不能表示与x轴

垂直的直线

x0,y0，

yy0kxx0

k为斜率，b为直线

斜截式

在y轴上的截距

ykxb

不能表示与x轴

垂直的直线

两点式

(x1，y1)，(x2，y2)是直

线上两个已知点

yy1xx1=

y2y1x2x1

与两坐标轴平行的直线不能用此式

过原点及与两坐标在x,y轴上的截距分

截距式

别为a,b且ab0

xy+=1

ab

轴平行的直线不能用此式

（五）作业：

教材第100页

习题3.2：1题、9题

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