习题4.2优秀教学实录

课题：高中数学必修（2）直线与圆的位置关系复习

授课主讲：永仁一中 王会礼

授课地点：永仁一中报告展示厅

授课时间：

教学三维目标：

1、知识目标：能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．

2、能力目标：

（1）通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．

（2）渗透数形结合、等价转化等数学思想。培养探究能力。

3、德育情感目标

（1）培养学生团队合作精神。

（2）培养学生个性品质，鼓励学生勇于探索新知。

二、教学重难点：

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．

教学难点：数形结合、等价转化等数学思想．

三、教法及学法

（一）、学情分析

1、学生在此之前已经能够充分认识到用代数方法解决几何问题的优越性，学生在学习此节内容时可能会存在疑问：学习了直线与圆的位置关系能够解决什么样的几何问题？因此在讲课以前要充分激发学生的学习积极性。再者有可能有的学生已经预习了本节内容，可能会认为本节内容不外乎就是套公式模式，故学习前还应充分调学生的探知欲。

2、学生在方法的推导过程中可能对直线与圆的位置关系是怎么来的不太清楚，因此在讲课时要重点强调这是数学上的一种等价转化数学思想。

（二）、教学方法

1、学导法：引导学生分析点到直线的距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径。然后选择一种较好的方法来具体实施。

2、教具：多媒体

（三）、学法指导

1、培养学生动手、动脑的能力，从而更易理解方法的推导过程。

2、培养学生以旧引新、以新带旧探索新知的能力。

四、设计思路：六步教学法

确立目标

创设情境

展开自学

反馈矫正

讨论总结

当堂训练

五、教学过程：

1

环节

创

设

情

境

教学内容设计

图片展示古诗意境：大漠孤烟直，长河落日圆。

问题：把地平线看作一条直线，太阳看作一个圆，那么地平线和太阳的位置关系怎样？引人课题：直线与圆的位置关系

教师活动

学生

活动

设计意图

开门见山地引出

课题，激发学生

好奇心、求知欲

促使学生主动探索

下去。

教

师提问：从古诗学生思考

的意境你想到了什么回答

数学问题与知识？

展

开

自

学

教师让最先得出结论1. 直线与圆的位置关系有几种？ 的小组把过程整理出2. 如何判断直线与圆的位置关系？

来，教师对用各种方3. 如何求圆的切线方程？

法得出结论的学生给4. 如何求圆的弦长？

予表扬和肯定。

学生分组

讨论并将

结果整理

出来。

1、让学生在活跃

的氛围中探求更多

知识。培养了学生

的团队合作精神。

2、张扬学生个性

培养学生的个性

品质。

反

馈

矫

正

1、直线与圆的位置关系的判断方法及步骤：

几何法：

1.确定圆的圆心坐标和半径r;

2.计算圆心到直线的距离d;

3.判断d与圆半径r的大小关系：

d>r相离,d=r相切,d

代数法：

1、把直线方程代入圆的方程

2、得到一元二次方程

3、求出△的值：

△＞0相交；△=0相切；△＜0相离。

2、圆的切线的求法

(1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程．

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知，切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程．

①几何方法．

当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．②代数方法．

设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．

注意：若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.

教师提问

老师点评

学生总结

学生互评

环

教学内容设计

2 教师活动

学生

设计意图

节

3、如何求弦长

教师分析方法

教师点评

活动

让学生掌握公式方法但又不能局限于公式模式。

已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，

y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.

法一：几何法：弦长|AB|＝2r2d2

法二：

代数法：弦长|AB|＝1＋k|x2－x1| ＝1＋k2·（x1x2)224x1x2

；

反

馈

矫

正

典型例题精讲

题型一：直线与圆的位置关系的判定与应用

22例1、已知圆C:x+y=2和直线y=x+b,当b取何值时，该圆与直线没有公共点。

变式思考：

(1)

有两个公共点；(2)只有一个公共点；

题型二：切线问题

22例2：已知圆C：(x-1)+(y-2)=2, 求过点P (2,-1)的圆C的切线方程。

变式思考：(1)求过点P(2,3) 的切线方程；

(2) 求过点P ( 12 ,3)的切线方程. 学生解出例题

题型三

：圆的弦长问题

例3、

已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. 若直线l过点P且被圆C截得的线段长为

43

,求l的方程；

环教学内容设计

教师活动

学生

设计意图

3

节

1、直线与圆的位置关系的判断方法及步骤：

几何法：

d>r相离,d=r相切,d

代数法：

△＞0相交；△=0相切；△＜0相离。

2、圆的切线的求法

(1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程．

(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程．

①几何方法．

②代数方法．

注意：若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.

3、如何求弦长

已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，教师点评

活动

学生小结

讨论总结

y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.

法一：几何法：弦长|AB|＝2r2d2

法二：

代数法：弦长|AB|＝1＋k|x2－x1| ＝1＋k2·（x1

221、直线y＝x＋1与圆x＋y＝1的位置关系是教师提示点评

(

) A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心 D．相离

222、若圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为________．

3、过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为____________．

4.若直线l过点A(4,0)，且被圆C1 2这样做有利培

养学生归纳总

结的能力。

（1）鼓励学生反思课堂全程，通过对知识的产生、发展、应用的体验和探索、促进学生认知结构的完善。

（2）对易错点和解题技巧作小结，再现重点和难点。

x2)24x1x2

；

学生解题

让学生巩固直线与

圆的位置关系的相

关知识的应用

当堂

练

习

(x+3)+(y-1)=4截得的弦长为23

，求直线22l的方程；

收

获

与

体

会

教师提问

（抽问）

学生总结归纳

这样做有利培养学生归纳总结的能力。

1、这节课我们学习了那些知识，那些数学思想方法？

2、本节内容还有哪些需要巩固和提高的地方？

3、本节课自我评价是否满意？

七、教学反思：

新课程指出：学生是学习的主体，是发展的主体。在课堂教学中，教师要将课堂的主动权让给学生，高度重视学生的主动参与、亲自研究、动手操作，让学生从中去体验

4

学习知识的过程，引导学生在发现问题、分析问题、解决问题的同时，培养学生的自主学习能力和创新意识。

在《直线和圆的位置关系》这节课中，我首先由生活中的情景——日出引入，让学生发现地平线和太阳位置关系的变化，从而引出课题：直线和圆的位置关系。然后要求学生在纸上画一条直线，用硬币代替圆，平移硬币，自主探索发现直线和圆的三种位置关系，给出定义，联系实际，由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交、相切、相离的现象，紧接着回顾之前讲点与圆位置关系时用数量关系来判断的方法，引导学生探索直线与圆的位置关系中是否也可以用数量关系来判断直线与圆的位置关系。由“做一做”进行应用，最后去解决实际问题。通过本节课的教学，我认为成功之处有以下几点：

1、由日出的三张照片（太阳与地平线相离、相切、相交）引入，学生比较感兴趣，充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，体验到数学来源于实践。对生活中的数学问题发生好奇，这是学生最容易接受的学习数学的好方法。新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系，从生活中“找”数学，“想”数学，让学生真正感受到生活之中处处有数学。

2、在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松的就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化，这种等价关系是研究切线的理论基础，从而为下节课探索切线的性质打好基础。

3、新课标下的数学强调人人学有价值的数学，人人学有用的数学，要学生回到生活中去运用数学，在导课环节中学生的积极性高涨，都急着讨论解决方案，是乏味的数学学习变得有滋有味，使学生体会到学数学的重要性，体验“生活中处处用数学”。

同时，我也感觉到本节课的设计有不妥之处，主要有以下三点：

1、学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。学生被动的接受，对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的积极性，使学生实现自主探究。

2、虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则，但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探索、交流的时间，限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使概念更清楚，结论更准确。

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3、对“当堂训练”的处理不够，这一环节是对探究的成绩与效果的探索与检验，重在帮助学生掌握方法，我在讲解时，没有充分展示解题思路，没有及时进行方法上的总结，致使部分学生在解决实际问题时思路不明确。教师要根据情况，简要归纳、概括应掌握的方法，使学生能够举一反三，巩固和扩大知识，吸收、内化知识。

总之，新课程的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学过程中来，充分展现自己的个性，施展自己的才华，使学生在参与和体验的过程中真正成为学习的主人，养成勇于探索、敢于实践的个性品质。与此同时，教师还要为学生的学习创造探究的环境，营造探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的效果。

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