3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计及教案分析

“基于核心素养，教学目标引领，提高课堂教学质量”

高二年级

数学

学科课题研究方案

（小店区一中

张权）

2017年

10 月

16

日

学科

核心

素养

1.数学抽象：抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的

属性或特征的思维过程。

2.直观想象：指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解

决数学问题的过程。

3.逻辑推理：指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。

选定研究篇目

教材版本

所属章节

3.1.1倾斜角与斜率

选定课题

人教A版必修2

第三章

本节是人教A版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。3.1直线的倾斜角与斜率建议2个课时。本节倾斜角与斜率为第一课时，有两部分构成：倾斜角与斜率、斜率公式。重点是：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两课标分析

点的直线斜率计算公式。难点为直线斜率与它的倾斜角的关系。课标要求：教师应帮助学生经历将直线倾斜角代数化，探索确定直线位置关系的几何要素。理解直线倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的计算公式。本节课的设计正是围绕课标要求设计的。

本节是人教A版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。直线是解析几何中的一个基础概念，而直线倾斜角和斜率是直线的重要要素，是刻画直线倾斜程度的“形化”与“量化”，是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其教材分析

几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是研究两条直线的位置关系，建立直线的方程，还是解决线性规划问题，以及讨论直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

学生已有的认知：两点确定一条直线。顺势提出问题：过一点直线是否确定？可作无数条直线，这些直线称作直线系，其共同点是：过同一个点，区别是什么？引入倾斜角的概念。

斜率概念的引入以引入的必要性是本节的难点。通过前面的分析，学生已经认识到直线过一点以及一个倾斜角足够确定一条直线，为什么还要引入斜率？这是因为倾斜角学生分析

作为直线的一个几何要素，在直线的代数表示上有不合适之处，故引入描述直线请倾斜程度的一个代数表示成为必然。

既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。

重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过

程，推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；

难点：斜率概念的引入以引入的必要性。经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌

重难点分析

握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

拟定核心素养教学目标

目标一：

探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程；通过分析，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的。体会核心素养中的数学抽象、直观想象和逻辑推理。

目标设定解说

在平面直角坐标系中，通过具体的例子，探索确定直线的几何要素，引出描述直线倾斜程度的几何要素：直线的倾斜角，并确定出倾斜角的取值范围，体会核心素养中的数学抽象和直观想象。

倾斜角作为直线的一个重要几何要素但是不能“量化”，于是继续探索能够量化直线倾斜程度的要素。生活中的“坡度(比)”，是一个生活中的概念，数学来源于生活，于是自然通过正切引入斜率的概念，体会核心素养中的数学抽象。

目标二：

经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。

斜率作为描述直线倾斜程度的代数描述有其局限性，特殊直线的倾斜角的斜率可以计算出，但是实际上存在最多的还是倾斜角不是特殊角的直线的斜率很难紧缺计算出，于是迫切需要一个能够描述一般的直线的斜率的方法，引出过两点的直线的斜率公式。体会核心素养中的逻辑推理和数学运算。

围绕目标的课堂教学基本流程

流程一：导入课题：

介绍研究研究几何图形性质的两个方法：公理化方法和坐标法。说明从今天开始，我们就和大家一起学习解析几何中的坐标法。我们先从最简单的几何对象——直线开始研究。

本节课的任务是首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用坐标法将之表示出来。

思考1：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置有哪些条件确定？

我们知道，两点确定一条直线，那么一点能确定一条直线的位置吗？

在几何画板上分析：过一点能做出无数条直线。

这些直线的区别在哪里？

（学生答：方向，或倾斜程度不同）

怎样去描述直线的倾斜程度呢？

这节课，我们就一起来学习刻画直线倾斜程度的两个量：倾斜角和斜率。

板书课题: 3.1.1 倾斜角和斜率

流程二：新课讲解

这些直线的倾斜角不同，意味着方向不同，如何刻画这一几何量呢？（北偏东30°，南偏西60°……）对，角度。我们能不能也引入一个角度，来刻画直线的倾斜程度呢？

引入倾斜角的概念。

1、倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

学生练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

oy教学流程对核心素养目标的体现

通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以

作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，

感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。

plxyolyopxlp

注重数形结合的思想：数形结合，使概念更直观、易懂，能够更好的理解直线的倾斜角的概念，

从而引入描述直线倾斜程度的概念——直线的倾斜角；

体会直观想象这一核心素养。

y

poxlx(1) (2) (3)(4)学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？

如何规定？

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。



自然有倾斜角的范围是[0，180）

这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。因此，我们可以用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？

如图:在日常生活中，我们常用坡度来表示倾斜程度。我们可以将实物图抽象成我们熟悉的几何图形。在Rt△ABC中，若将AB所在直线看成x轴的正方向，则角是直线的倾斜角。如图，角越大，坡度越大；坡度除了与角有关，与升高量和前进量间又有何关系？你能用角与升高量和前进量的变化之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

D

使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的。

对倾斜角为90°的直线的斜率不存在性的本质理解，它不是规定的，

而是由于90°的正切值是不存的；在斜率存在的情况下，斜率的正负可以推导出倾斜角的取值范围，概念的易错点，需要细致的分析，在课件上通过展示能更直观的讲解，渗透核心素养中的直观想C

升高量象。

一系列问题的设置，为说明不是所有的直线都有斜率。体会核心素养中的逻辑推理。

A

前进量

B

坡度(比)＝升高量BCtan

=前进量AC由此类比生活中的坡度概念，想到用倾斜角的正切来定义直线的斜率。

问题：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？

由此可以得到怎样结论？

注意到直线倾斜角的范围是

[00,1800)，可得到以下正切函数的部分图像: 从正切图像中可以看出当90时，正切值不存在，即此时斜率不存在

o

因为在高一已经学过了正切函数的图像和函数的单调性了，所以在此画出正切函数在[00,1800)的图像，能直观的得出斜率和倾斜角的关系，体会直观想象这一核心素养。

2.斜率的概念：

我们把一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率

(slope),通常用小写字母k表示。即：

ktan(90o)

yyyy

aa

oo

oo

直角

锐角

零度角

钝角

0k0 为锐角k0

为直角k不存在 为钝角k0通过例题，加深了对内容的理解。在例题的设置方面，符合学生的认知规律，例1 如图，直线l1的倾斜角130,直线l1l2,

由特殊到一般，由浅入深。

求l1，l2的斜率.

3k1tan30=,

3

2190°120°k2tan120°3

设计说明：通过求角来求正切值，从而求出斜率。

例2 已知直线的斜率k的变化范围为(1,1],求直线的倾斜角的取值范围.

3

[0,](,)

44

设计说明：通过正切函数的图像来确定角的取值范围。

引导学生思考由两点既然可以确斜率作为描述直线倾斜程度的代数描述有其局限性，特殊直线定一条直线，直线定了，这条直线的倾xxxx

斜角就定了，如果直线斜率存在，那么直线的斜率就定了，那么是否能通过直线上任意两点计算出这条直线的斜率呢？从而引入直线斜率的计算公式。

思考3：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也

就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其

中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1 P2，探究

各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去

分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高

量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导

过程与结果。

解：设直线P1

P2倾斜角为（90）当直线P1

P2方向向上时，y

y过点P1作x轴的平行线，过点P2作yP轴的平行线，两线交于点Q，

2（x2，y2）P2（x2，y2）则点Q为（x2，y1）

Q （xx，y1）（1）当为锐角时，QPy1y2

P1（x1，y1）1P2，x122，

P1（x1，y1）αQ （x2，y1）α

QPx2y2y1

OxOtantanQPP在RtP中，PQ

1212P1Qx2x1

yy（2）当为钝角时，180（设QP1P2=），x1x2，

P1（x1，y1）P1（x1，y1）

y1y2

Q （x1，y2）P2P2（x2，y2）

（x2，y2）tan=tan(Q （x1，y2）180)αtan

α

xOxO

QP2y2y1y2y1在RtP

1P2Q中，tanQP1x2x1x2x1

y2y1（可让学生分组推导）

tan

x2x1

同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有

在推导和分析的过程中，发展学生y2y1y2y1，即k

tan的逻辑推理核心素养。

x2x1x2x1

思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？

2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

流程四：例题巩固

例1

如图

，已知

A（3,2），B（-4,1），C（0，-1），求直线AB，

的倾斜角的斜率可以计算出，但是实际上存在最多的还是倾斜角不是特殊角的直线的斜率很难紧缺计算出，于是迫切需要一个能够描述一般的直线的斜率的方法，引出过两点的直线的斜率公式。

BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确-3的直线l1，l2，l3及l4。

定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。

流程五：课堂小结

布置作业

小结：

1、直线倾斜角定义与取值范围

2、直线斜率的定义

3、直线的倾斜角与斜率之间的关系

4、两点间斜率公式

5、数学核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算

作业：①自学课本P85：例1、例2；

②作业本：P89：1、2、3。

围绕目标达成的课堂检测

总结体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用；感受核心素养中的数学抽象、直观想象和逻辑推理。

题目设置说明

在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。

三点共线，和倾斜程度有关。

检测一：

求经过以下两点直线的斜率和倾斜角。

（1）A（0，0），B（1,1）

（2）P（1,0），Q（0,1）

检测二：

已知P,2),P2(x,3),P3(3,1)在一条直线上,求x的值

1(1课堂实践反馈

通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念，能较好地理解倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究解析几何问题。

教学中紧紧把倾斜角与斜率概念的得出作为重点，强调学生在得到概念这一过

程中的积极参与、主动探索。通过设计一些具有思考价值的问题，引导学生的思考

步步深入，最后概念在头脑中呼之欲出，从而让学生感受到得出概念这一过程是自然的，是清楚的，是水到渠成的。之后通过一定的例题沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。但根据正切函数的定义域，并非所有的直线都有斜率。让学生逐步体会将几何问题代数化，用代数方法来研究几何问题的思想方法。感受核心素养中的数学抽象、直观想象和逻辑推理。