1.2.1 充分条件与必要条件主要内容及教案内容

1.2 .1 充分条件和必要条件

第 1 课

【教学目标】

1．知识与技能

理解充分条件、必要条件的概念，掌握它们的判断方法和技巧，熟悉判断步骤．

2．过程与方法

充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题的能力；通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立统一的思想，培养辩证唯物主义观，通过学习本节课让学生体验成功的愉悦，激发学习的兴趣．

【教学重点与难点】

[重点] 通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立统一的思想，培养辩证唯物主义观，通过学习本节课让学生体验成功的愉悦，激发学习的兴趣．

[难点] 通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立统一的思想，培养辩证唯物主义观，通过学习本节课让学生体验成功的愉悦，激发学习的兴趣．

【教学过程】

一、温故知新

1、命题

2、命题的真假

3、命题的形式

4、四种命题的关系

二、新课导入

[导入一] 创设情境，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说你是她的孩子呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的孩子．那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件．

[导入二]

1

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题．

(1)若x＞a2＋b2，则x＞2ab；(2)若ab＝0，则a＝0. 学生容易得出结论：命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

三、问题探究

充分条件与必要

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

P

q p是q的

条件

q是p的

条件

“若p，则q”是假命题

P

q

p不是q的

条件

q不是p的

条件

例如:（1）因为若x>a2+b2，则x>2ab 为真命题

所以：x>a2+b2

是x>2ab的

充分条件

即：x>a2+b2

 x>2ab x>2ab 是x>a2+b2的

必要条件

（2)因为若ab=0，则a=0 为假命题 即：ab=0  a=0 所以：ab=0 不是a=0的充分条件

a=0 不是ab=0 的

必要条件

深化理解 ： 结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解． 充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，即要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．（有他，足以）

必要条件可从命题等价性理解：p⇒q等价于

﹁ q⇒

﹁ p，意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件（无他，不可) 四、巩固新知

例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若 x=1,则x2 -4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 .

2

解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件

例2、

下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若 x=y,则x2=y2; (2)若x<3,则x<5; (3)若a>b,则ac>bc. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件. 思考：

（1）结合例1（1）例2（2），你能从集合的包含关系来判断充分条件与必要条件吗？（p对应的集合为P,q对应的集合为Q）

提示：p ⇒q，则P ⊆Q ，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

(2)若p是q的充分条件,p是唯一的吗? 提示:不一定唯一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件. (3)“若﹁p,则﹁q”为真命题,则p是q的什么条件? 提示:“若﹁p,则﹁q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即q⇒p,故p是q的必要条件. 小试牛刀：

（一）

、充分条件与必要条件的判断 1.

命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”中,“a是偶数”是“a=4n”的

______条件,“a=4n”是“a是偶数”的_________ 条件(用充分、必要填空). 2.下列“若p,则q”形式的命题中: ①若lgx=0,则2=2; ②若1sinx= 2x ,则x= 6 ; ③已知n∈N+,若an=2n,则{an}是等差数列. 其中,p是q的充分条件的是_______,q是p的必要条件的是_______,p不是q的充分条件的是______,q不是p的必要条件的是_______ .(将符合题意的所有序号都填上)

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（二）、 充分条件与必要条件的应用 1.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围是( D ) A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1 【解析】若“x>1”是“x>a”的充分条件,则x>1⇒x>a,于是{x|x>1}⊆{x|x>a},得a≤1. 变式训练：若1中的“充分条件”改为“必要条件”，则实数a的取值范围

_a≥1______ 2.

若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则c= _0_____ . 3、是否存在实数p，使4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 五、课堂小结

（一）．通过本节学习，你有什么收获？；

（二）归纳总结

1、充分条件与必要条件的概念

2、充分条件与必要条件的判定方法

3．利用集合法可以解决充分条件、必要条件中一些参数的范围问题. 六、课后作业：

书本练习：1、2、3、4

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