3.3.4 两条平行直线间的距离说课稿【一等奖】

第三章

直线与方程

第3.3.4节

两条平行直线间的距离

魏县一中 陈海华

【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.

（二）教学重点

点到直线距离公式的推导与应用.

（三）教学难点

对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.

（四）教学建议

这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．

【新课导入设计】

导入一：问题情境

某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？

这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？

导入二：

点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 导入三：

创设情境[来源:学+科+网Z+X+X+K]

以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险．让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．

【课堂结构】

一、问题情境

1. 某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？

这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？

2. 在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：

（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由[来源学。科。网Z。X。X。K]

解得即m与l的交点

由两点间的距离公式，得

故要完成任务，至少需要9km长的电线．

（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（－），易让向量＝（，，0）．在直线l上任取一点M（0，）与向量n＝（3，－4）垂直．

设向量与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知

（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．

设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0，

①

又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，

而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），

即3（xo－15）－4（yo－20）＝45．

②

把等式①和等式②两边相加，得

25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，

∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，

3. 教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．

二、建立模型

设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．

我们来寻求点到直线l距离的算法．

作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为

B（x－x1）－A（y－y1）＝0．

由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．①

由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，

即C＝－Ax0－By0．

所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，

即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②

把等式①和②两边平方后相加，整理可得

（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，

即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝

容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：

归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：

（1）给出点的坐标x1和y1赋值．

（2）给A，B，C赋值．

（3）计算

注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．

（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．

三、例题讲解

例1 求点P(1,2)到下列直线的距离：

(1)l：y＝x－3；(2)l：y＝－1；(3)y轴．

12【分析】

解答本题可先将直线方程化成一般式，再利用点到直线的距离公式求解，特殊直线也可以数形结合．

【解】

(1)将直线方程化为一般式为：x－y－3＝0，

由点到直线的距离公式得d1＝|1－2－3|1＋－22＝22. (2)解法一：直线方程化为一般式为：y＋1＝0，

由点到直线的距离公式得

d2＝|0＋2＋1|＝3. 220＋1解法二：∵y＝－1平行于x轴，如图，

∴d2＝|－1－2|＝3. (3)解法一：y轴的方程为x＝0，

|1＋0＋0|由点到直线的距离公式得d3＝＝1. 221＋0解法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.

【规律方法】

求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解．

例2. 求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离．

分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．

解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d＝

例3. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．

不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：即bx－ay＋ab＝0；

直线BC：∴点B（a，0）．

，即bx＋ay－ab＝0，

在线段AB上任取一点D（m，0），

则－a≤m≤a．

∴d1＋d2＝，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

例2 求两平行线l：3x＋4y＝10和l：3x＋4y＝15的距离．

12【分析】

解答本题可以先将直线方程化为一般式，然后转化为l上一点到l的距离，也可以用两12平行线间的距离公式求解．

【解】

解法一：若在直线l1上任取一点A(2,1)，则点A到直线l2的距离即是所求的平行线间的距离．l2的方程可化为3x＋4y－15＝0，

解法二：直线l1、l2的方程可化为

3x＋4y－10＝0,3x＋4y－15＝0，

则两平行线间的距离为d＝|－15－－3＋4225＝＝1. 5|3×2＋4×1－15|∴d＝＝1. 223＋4【规律方法】

求两平行直线间的距离有两种思路：

(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离；

|C2－C1|(2)直接利用两平行线间的距离公式d＝22，但注意两直线方程中x，y的系数必须对应相A＋B等．

例3 已知在△ABC中，A(1,1)，B(m，m)，C(4,2)(1

【分析】

以AC为底，则点B到直线AC的距离就是高，求出S与m之间的函数关系式，求函数最值即可．

【解】

∵A(1,1)，C(4,2)，

∴|AC|＝－2＋2－2＝10.

又直线AC的方程为x－3y＋2＝0，

|m－3m＋2|∴点B(m，m)到直线AC的距离d＝，

1011∴S＝|AC|·d＝|m－3m＋2| 221321＝|(m－)－|. 224131∵1

2223211132∴0≤(m－)<，∴S＝[－(m－)]，

2424239∴当m－＝0，即m＝时，S最大．

249故当m＝时，△ABC的面积最大．

4【规律方法】

利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论

课堂小结: |Ax0＋By0＋C|1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝.使用此公式应A2＋B2注意以下几点：

(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．

(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用．

2．一般地，已知两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2.于是，点P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By|Ax0＋By0＋C1||C1－C2|＋C1＝0的距离d＝＝22就是两平行直线l1与l2之间的距离．

A2＋B2A＋B

当堂检测：

1.点（3,2）到直线l:x-y+3=0的距离为(

) A.42

B.2

C.22 D.3

2.点P(m-n,-m)到直线xy=1的距离为(

) mn

A.m2n2

B.m2n2 C.m2n2 D.m2n2

3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为(

) A.13

B.22

C.6

D.2 4.到直线2x+y+1=0的距离为5的点的集合为(

) 5A.直线2x+y-2=0

B.直线2x+y=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0

D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=0 5.若动点A、B分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(

) A.32

B.22

C.33

D.42

6.两平行直线l1、l2分别过点P1(1,0)、P2(1,5),且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l1：_________________,l2：_______________. 7.已知直线l过点A(-2,3),且点B(1,-1)到该直线l的距离为3，求直线l的方程. 8.已知直线l过点(1,1)且点A(1,3)、B(5,-1)到直线l的距离相等，求直线l的方程.

参考答案

1.解析:由点到直线的距离公式可得d=答案：C

2.解析:|323|222. xy1nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得

mn|n(mn)m2mn|m2n2答案：A |n2m2|m2n2m2n2. 3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得4222. 答案：B 4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的

距离为|m1|55.设所求直线的方程为2x+y+m=0,根据平行线间的距离公式，得｜m-1｜555[来源:Z&xx&k.Com]=1，解得m=2或m=0.

故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0. 答案：D

8.解：直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB=13=-1，

51即直线方程为y=-(x-1)+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M(2,1)时也满足条件，即直线l的方程为y=1. 综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=1.