复习参考题特级教师教学实录

空间简单几何体的外接球问题教学设计

宁乡一中

贺惟明

课时安排：

本节为复习当中设置的一个微专题，分两课时授课。

第一课时：空间简单几何体的外接球问题

第二课时：外接球问题之补形法：二面角模型，长方体模型，直棱柱模型，两直角三角形共斜边模型。

教学目标：

1、观察空间中到圆周上各点距离相等的点的轨迹，理解圆柱、圆台、圆锥的外接球球心位置的寻找方法，推导出其外接球半径的计算公式；

2、通过旋转体外接球球心与半径的研究，探索棱柱、棱台、棱锥的外接球半径的计算方法；

3、通过观察、探索、发现、总结的探究学习的过程，培养创新意识。

教学重难点：

教学重点：1、理解空间简单几何体外接球的存在性与唯一性；

2、理解并掌握柱体、台体、锥体的外接球半径的计算方法。

教学难点：台体、侧棱不全相等的棱锥的外接球半径的推导。

教学方法：

演示法、讲授法。

教学过程：

一、引入

从简单几何体的分类：柱、锥、台、球和旋转体、多面体

引出本节课研究外接球的两条主线：柱、锥、台、球和旋转体、多面体。

明确空间简单几何体的研究内容即回答三个问题：

（1）空间简单几何体有没有外接球？

（2）空间简单几何体如果存在外接球，外接球有几个？

（3）空间简单几何体如果存在外接球，外接球半径怎么求？

二、新课讲授

1、空间简单几何体如果存在外接球，外接球有几个？

两个球面相交公共部分为一个圆周，若一个图形存在两个外接球，则此

O图形为存在外接圆的平面图形。

RdR得到结论：空间几何体若存在外接球，则外接球只有唯一一个

。

rAO'r2、平面上，到一个圆的圆周上各点距离相等的点为圆心

B

空间中，到一个圆的圆周上各点距离相等的点的轨迹为一条过此圆圆心且垂直与圆面的直线

1

3、旋转体的外接球：通过球体的截面圆平行向上移动可分别得到圆柱、圆台、圆锥。

Or

OrOrBBRdddR

ROrCrROdROdOOO

RdRddrrCrOOO

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）圆柱的外接球：要使得上下底面圆在球的表面，则球心位于过上底面圆的圆心作上底面的垂线，同时位于过下底面圆的圆心作下底面的垂线，由于圆柱的上下底面平行，所以两垂线是重合的。又球心到上、下底面圆的圆周上各点距离相等，从而球心位于两圆心连线的中点。

111111111111222222222222r1r2rd1d222h22

hRr2（2）圆台的外接球：由于上下底面平行，所以球心位于上下底面圆圆心的连线上，若已知圆台的上、下底面圆半径与圆台的高，则有图2，图3两种情况。

图2：hd1d2hd1d2

图3：hd1d2运用解方程思想，解三个未知数需三个方程

R2r12d1222r2h2r122222联立Rr2d2得d1，从而R2d1r1

2h22hd1d2注意：若直接进行分类讨论，容易产生增根。

（3）圆锥的外接球：由于顶点到底面的投影是底面圆的圆心，所以外接球球心在顶点与底面圆圆心所连直线上，与圆台类似也有两种情况：

dhR22dhR

dRhR2r2d2RrhR222

得到结论：旋转体一定存在唯一一个外接球。

2

4、棱柱、棱台、棱锥的外接球（采用从特殊到一般的研究方法）

（1）底面为三角形的棱柱、棱台、棱锥的外接球

r1O1ROd1Rd2r2O2

三棱柱：直三棱柱的顶点在圆台的上下底面圆的圆周上，所以直三棱柱的球心在上下两底面圆圆心连线的中点。

对于斜三棱柱，分别过上下两底面三角形的外心作上下两底面的垂线，两垂线平行，无公共交点，故斜三棱柱不存在外接球，只有直三棱柱才存在外接球。

O1d1Or1RRAO1d1O2Od2r1Rr2Rr1O1ARd1dO22r2OO2d2Rr2

三棱台：三棱台的顶点位于圆台的上下底面，所以三棱台的外接球的球心与球半径的求法和圆台的情况一致。

hd1d2hd1d2

hd1d2运用解方程思想，解三个未知数需三个方程

R2r12d12222Rr2d222r2h2r122222hd1d2d1Rdr2h11

联立得，从而注意：若直接进行分类讨论，容易产生增根。

三棱锥：取圆锥顶点和底面圆圆周上任意三点，可得侧棱相等的三棱锥。

所以侧棱相等的三棱锥的外接球球心与半径的求法和圆锥一致。

dhR22dhRdRh

R2r2d2R2r2hR

2

3

（2）侧棱不全相等的三棱锥的外接球

PPREBP'COMP1ORdrO1O1A

①侧棱不全相等的三棱锥的外接球的存在性：

过底面ABC的外心O1作底面的垂线l，作线段PA的中垂面

，直线PA与直线AC不平行中垂面与垂线l不平行，

则面lO,即存在点O到三棱锥四个顶点的距离相等，任意三棱锥存在外接球。

②侧棱不全相等的三棱锥的外接球的求法

：

因为OO1未知，设OO1的垂1d，出现d,R两个未知数，需要两个方程；过点O作PP线，交PP1与点M,则

R2r2d2RhdOM222

其中OMO1P1,在此方法中需为已知量。

（3）棱柱、棱台、棱锥的外接球

O1r1O1r1d1RRr2O1d1Od2O2r1RRr2d1RRr2OO2d2O2Od2

4

PMP1ROdrO1R

底面为四边形的棱柱、棱台、棱锥加入限制条件：底面四边形存在外接圆。

由底面为四边形的棱柱、棱台、棱锥的外接球推广到所有棱柱、棱台、棱锥的外接球

三、知识总结（填写内容见课件）

旋转体

柱体

台体

锥体

多面体

（棱柱、棱台、棱锥）

球心位置

半径求法

四、课堂练习：（解答见课件）

例1、如图：正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的半径。

P

DO'ABC

例2、一个圆台,上底圆直径为1,下底圆直径为3,高为1,求此圆台外接球的半径.

A

A'O''B'r'Rd'OdO'rRBA'AO''B'r'd'O'RrdROB5

例3、如图：已知边长为23的菱形ABCD中，BAD60，沿对角线BD折成二面角ABDC为120的四面体ABCD，则四面体的外接球的半径。

AO''MBDO'C

五、课后练习(高考真题)：

1、（2012全国Ⅱ·文8）平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（ ） A.6

B．43

C．46

D．63

2、（2013全国Ⅰ，文15）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB1:2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为______．

3、（2013全国Ⅱ·文15）已知正四棱锥OABCD的体积为以O为球心，OA为半径的球的表面积为________. 3232，底面边长为，则4、（2015全国Ⅱ·理9）已知A,B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）

A．36

B．64

C．144

D．256

5、（2018全国Ⅲ、理10）设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为

A．123

B．183

C．243

D．543

6、（2011全国Ⅰ，文16）已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同3一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的16，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________________.

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