3.3.1 两条直线的交点坐标优质课教案推荐

3.3.1两条直线的交点坐标

一、内容和内容解析

1、内容

方程组的解的情况来判断两条直线的位置关系、直线系方程中定点的求法。

2、内容解析

本节内容是数学必修2“第三章

直线与方程

3.3 直线的交点坐标与距离公式”

的第一课时．本节课是在学生学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础．本节课利用代数的方法来解决两条直线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学生转化与化归的思想。

基于以上分析，本节课的教学重点是：对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标。过定点直线系的定点求法，对含参数解讨论。

二、目标和目标分析

1、目标

（1）掌握利用解方程组的方法判断两条直线的位置关系

（2）掌握过两条直线交点的直线系方程

（3）初步了解直线过定点问题

2、目标分析

目标（1）的具体要求是：要求学生理解求两条直线交点的思想方法，即解方程组的转化思想，通过解方程组的解个数的情况与相应两条直线的交点的个数（位置关系）情况，由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

目标（2）的具体要求是：要求学生掌握过两条直线的交点的直线系方程问题，是对前面学习直线的位置关系和直线的方程内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、圆锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础，进一步渗透数形结合、坐标法思想。

目标（3）的要求是：要求学生通过探究过定点的直线系的方程问题，从而认识事物之间的内的联系，进一步培养学生转化化归的思想。 三、教学问题诊断分析

在前面的学习中，学生已经学习了直线的方程、求二元一次方程组的解，学习了利用斜率、纵截距和一般方程中对应系数之间的比例关系两种方法来判定两条直线的位置关系，但是对于含参数问题学生理解起来比较困难，对于恒成立问题学生缺乏经验。

因此本节课的难点是：过定点直线系的定点求法。

四、教学过程设计

1、自主学习，提出问题

课前让学生思考一下几个问题，课上反馈。

问题1：直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系？

问题2：如果直线l1与直线l2相交，如何用代数方法求出交点坐标？

问题3：由两条直线的方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？

【设计意图】复习巩固，以旧带新；简单的知识回顾，为学生自主探究铺平道路，唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课．

通过以上问题让学生以填表的形式来梳理两直线的位置关系和求两直线交点的方法。

几何元素及关系

点A 直线l

点A在直线l

代数表示

直线l1与直线l2的交

点是A 两条直线的位置关系

AxB1yC10方程组1的解A2xB2yC20

直线l1与直线l2公共点的

个数

直线l1与直线l2位置关系

【设计意图】设置问题串，以旧带新，通过对熟悉知识点的温故讨论，引发学生探究新知的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问题的能力。

试一试：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐

标。

(1) l1:x-y=0 l2:3x+3y-10=0 (2) l1:3x-y+4=0 l2:6x-2y-1=0 (3) l1:3x+4y-5=0 l2:6x+8y-10=0 【设计意图】通过动手操作，直观感知，深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系。理解运用两条直线的交点个数判定两直线的位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性。

2、互动探究，理解新知

探究1：过交点的直线问题

例1、求经过两条直线x2y10和2xy70的交点,且垂直于直线x3y50的直线方程师生活动：由学生独立思考完成，并找一名学生板演，之后由学生对解题过程进行评价。在此过程中学生会将解题过程自我规范，并理解了由代数方法解决两直线的相交问题。

【设计意图】学生通过简单的习题去理解两直线相交求交点的方法，同时复习了两直线垂直的关系。学生板书便于及时发现问题、解决问题，并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对，培养学生反思、总结的习惯。

变式：将例1中的“垂直”改为“平行”呢

师生活动：学生思考完成，引导学生分析两道题的区别

【设计意图】通过对问题的分析、解决过程，培养学生综合分析问题和转化化归的能力。

3、拓展提升，深化理解

探究2：定点直线系问题

问题：当变化时，方程3x4y2(2xy2)0表示什么图形？图形有什么特点？（取0,1,1.画图试试看）

师生活动：学生小组讨论，并归纳出解决含参直线过定点的解决两种解决方法。教师再用多媒体演示，学生观察参数变化过程中定点。师生共同归纳出含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点

【设计意图】通过方法探究，一题多解，发散思维，有益于沟通知识和方法，开拓解题思路．

例2、动直线(m+1)x(m1)ym50,求直线恒过哪个定点？

师生活动：学生独立完成，师生共同分析两种方法的不同之处，由学生选择适合自己的方法。

【设计意图】巩固含参直线过定点的两种解题方法。

4、总结反思，共同提高

在教师的引导下，师生共同回忆本节课的教学活动，提炼出本节课学习的主要知识和思想方法。

（1）本节课主要学习了哪些知识？应用到了哪些数学思想？

两条直线的交点的求法；

二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系；含参直线过定点的求法。

由特殊到一般的思想；转化化归的思想；数形结合的思想。

（2）本节课学习中你还存在哪些疑问？需要教师提供哪些帮助？

【设计意图】通过学生的回答及时发现问题，及时解决问题。

5、布置作业，反馈作业

1.两直线l1:x2y10,l2:x2y20的交点坐标为（ ）. (指向目标1) A．(1,3) B．(1,3) C．(1,3) D．(1,3)

24242424ym0，无论2.直线mx点 . （指向目标3）

m取任意实数，它都过3、三条直线ax2y80,4x3y10与2xy10相交于一点，求a的值

(指向目标1) 4、两条直线2x+3yk0和xky+120的交点在y轴上，求k的值

(指向目标1) 5、当k为何值时，直线ykx3过直线2xy(指向目标3) 10与yx5的交点? 6、求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0 （1）平行的直线方程. （2）垂直的直线方程 （指向目标2）