小结优秀公开课教案

课题：“抛物线过焦点弦的简单性质”微专题教学

授课班级：连江华侨中学高三（4）班 授课人：游元晖 授课时间：2019.3.26

【教学目标】

1.掌握抛物线过焦点弦的简单性质，并能灵活解决直线与抛物线相交问题。 2.通过探究抛物线焦点弦的性质和应用,体验数形结合、函数与方程、化归思想等数学思想，发展数学建模、直观想象、数学运算的核心素养。

3.通过探究解决问题的活动，从中感受数学知识的发展过程以及数学的实际应用价值，体验探索、合作的乐趣并从中获得成功。

【教学重点】

抛物线的焦点弦性质及其应用。

【教学难点】

合理选择解题策略和精准计算。

【教学方法】 自主、合作探究法

【教学过程】

一、问题导入，互动探究

问题1：若AB是过抛物线y2则焦半径x1x22px(p0)的焦点F的弦，交抛物线于Ax1,ABy1,Bx2,y2，AF ，BF ，焦点弦p ， _______ ，y1y2_______ 。（用A,B两点的坐标及表示）

设计意图：回顾焦半径长、焦点弦长的坐标表示法。（定义法）

问题2：已知倾斜角为60的直线l过抛物线y2抛物线于A、下几个量：

AFABB4x的焦点F，交两点，O为坐标原点，其中A在x轴上方，尝试计算如 ，BF ，

 ，SAOB .

设计意图：体验代数法是解决直线与抛物线相交问题的通性通法。

（联立方程求解或韦达定理）

1

问题3：已知倾斜角为的直线l过抛物线y2F2px的焦点，交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，其中A在x轴上方，BF=1AFAF=AFBF ， ， ，1BFAB  ，SAOB 。

p（用直线AB的倾斜角及表示）

设计意图：探究焦点弦所在直线的倾斜角在表示几何量上的应用。（几何法）

（1）焦半径长度：AF1|FA|1|FB|p1-cos,BFp1cos(2)焦点弦长度：AB 1cos1cos2psin2

p2（3）定值：2p（4） AFBF（5）OAB面积：SOAB

2sin问题4：过焦点的所有弦中,何时最短? AOB的面积何时最小？

通径（最短焦点弦）长度：ABp22psin22p，即当2时，通径最短为2p。

OAB面积：SOABp22。

p222sin设计意图：用倾斜角表示法证明通径为最短的弦，以及△ABC面积最小为将最值问题转化成三角函数来解决。

二、体验感悟、拓展延伸

例1： (2014全国卷Ⅱ文10) 设F为抛物线C:C:y2。感受此法可以3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C交于A，B两点,则错误！未找到引用源。=( ) 30A.

B .6 C.12 34 D. 733(,0)

34)方法一：由题意得F3y3(x),由4y24x，l的方程为y3(x．设A(x1,y1),B(x2,y2)，

得x2212x9160．

故x1所以|x2212．

AB||AF||BF|x1x2p12ABsin32方法二：

12

2

变式：(2014全国卷Ⅱ理10)设F为抛物线C:y23x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C交于A，B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为(

)

A. 343 B. p2983

94 C. 6332

D. 94

解：SAOB

:y22sin例2：（2013全国Ⅱ文10）设抛物线C两点。若|A.yAF|3|BF|，则l4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B的方程为（ ）

33(x1)x1或yx1 B.y或y33(x1)

C.y3(x1)或y23(x1) D.y22(x1)或y22(x1)

法一：选C. 抛物线y=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2，因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=1323313，当x1=3时，y1此时kABkAB212，所以此时y1y1223，若y123，则A(3,23),B(,),33,此时直线方程为3(x1)。若y123，则A(3,21233),B(,),此时33,此时直线方程为y3(x1).

法二：设AB的倾斜角为，AF因为|AF|=3|BF|，可知，k-321-cos321cosP1-cos则,BF12P1COS，

3，tan3，∴cos，;k3,由对称性也可以。选c 4x例3：（2018全国卷Ⅱ文20（1），理（19））设抛物线C：y2为k(k0)的焦点为F，过F且斜率的直线l与C交于A，B两点，|(1,0)AB|8，求l的方程。

．

【解析】法一：由题意得F设A(x1,y1),B(x2,y2)，l的方程为yk(x1)(k0)，

yk(x1),由2y4x得k2x2(2k24)xk20．

3

16k2160，故x1x22k242．

k所以|AB||AF||BF|(x11)(x21)4k242k．

由题设知4k2428k，解得k．

1（舍去），k1．

因此l的方程为yx1法二：设AB的倾斜角为，则AB22斜率ktan1,2psin2=8，

sin,cos22,

x1因此l的方程为y．

设计意图：体会通法-----代数法（定义法，联立+韦达）容易切入，但计算量较大；特法------几何法（涉及倾斜角或直线斜率）计算量少，关键是找到几何量和几何关系。

三、

归纳小结，提高升华

通过本节学习，你能从知识、方法、思想方面谈谈有哪些收获吗？

1.性质：公式两种表示方法----坐标表示、倾斜角表示。

2.通法：代数法---坐标法（定义法，联立+韦达）

特法：几何法---倾斜角法（涉及倾斜角或直线斜率）

四、

课后作业，巩固提高

1.过抛物线|BF|=________. y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则22.（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y3.(2018全国卷Ⅲ)已知点M8x|的焦点，M是C上一点，FM的2延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN(1,1) ．

4x和抛物线C：y，则k，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若AMB90______．

24.（2014，全国理科1卷10）已知抛物线C：yl8x的焦点为F，准线为l，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FPA4FQ，则|QF|=（ ）

.72 B.52 C.3 D.2 25.（2017全国1理10）已知F为抛物线C：y的直线l

14x的焦点，过F作两条互相垂直AB||DE|,l2，直线l与C交于A，B两点，直线l与C交于D,E两点，则|12的4

最小值为（

）

A．16 B．14 C．12 D．10 6．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C：y线与C交于M，N两点，则FMFN24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为23的直=（ ）

2A．5 B．6 C．7 D．8 7.(2016年全国III卷文、理20（1）)已知抛物线C：yx122x的焦点为F，平行于轴的两条直线l，l分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ.

教学反思：

《抛物线过焦点弦的简单性质》高三二轮复习的微专题课，也是一节研究性学习课，其目的是：

（1）研究抛物线焦点弦主要利用定义与数形结合相结合，紧紧围绕教材，挖掘教材的内涵，重视数学思想方法的渗透，通过学生的参与、探究得到抛物线焦点弦的二级结论，并结合高考试题进行应用和拓展。

（3）引导学生学会学习，“教”为学生的“学”而设计，不仅关注学生对知识的掌握，还关注学生对思想方法的理解，对数学本质的领悟，在教学中指导学生带着问题学习，自主探索，独立思考，合作交流，学会学习，紧扣新课程理念，循序渐进，力求新意。

（3）教学过程努力创造适合学生主动参与学习，体验知识、方法形成过程，让每个学生自主积极参与学习过程，经历逻辑推理、运算、归纳等活动，获得一些数学思考的体验，发展数学建模、直观想象、数学运算的核心素养。

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