3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计实例

3.3.4 两条平行直线间的距离

（一）教学目标

1．知识与技能

在理解点到直线距离公式的基础上，熟练掌握两条平行直线间距离的求法.

2．过程和方法

会用点到直线距离公式和两条平行线间的距离公式求解平台平行线间的距离问题

3．情感和价值

认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.

（二）教学重点、难点

教学重点：点到直线的距离公式在求两条平行线间的距离中的应用.

教学难点：两条平行线间的距离公式的推导、理解与应用.

（三）教学方法

学导式

教学环节

教学内容

前面几节课，我们一师生互动

用POWERPOINT打出平面设计意图

起研究学习了两直线的直角坐标系中两直线，进行移动，平行或垂直的充要条件，使学生回顾两直线的位置关系，且两直线的夹角公式，两直在直线上取两点，让学生指出两点复习引入

线的交点问题，两点间的间的距离公式，复习前面所学.要设置情距离公式。逐步熟悉了利求学生思考点到直线的距离的计境导入用代数方法研究几何问算？能否用两点间距离公式进行新课

题的思想方法.这一节，推导？

我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离. 概念形成

式

1．点到直线距离公（1）教师提出问题

通过已知P (x0，y0)，直线l：Ax + 这种转

点P (x0，y0)到直线l：By + C = 0，怎样用点的坐标和直化，培养Ax + By + C = 0的距离为

线方程直接求点P到直线l的距离学生“化d|Ax0By0C|AB22

呢？

学生自由讨论

（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.

把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题. 寻找最佳方案，附方案二.

方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S

(x0，y2)，

由A1x1By0C0

Ax0By2C0归”的思想方法. 推导过程

方案一：

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQB的斜率为(A≠0)，根据A点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.

此方法虽思路自然，但运

By0CAx0C得x1

,y2ABAx0By0C|

A算较繁，下面我们探讨另所以|PR||x0x1||一种方法. |PS||y0y2||Ax0By0C|

B|RS|PR2PS2

A2B2|Ax0By0C||AB|由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.

所以d|Ax0By0C|AB22

可证明，当A = 0时仍适用.

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高. 例1

求点P

= (–1，2 )到直线3x = 2的距离

解d|3(1)2|3022学生分析求解，老师板书

通过这两道简单的例题，：5

3

例2

已知点A (1，3)，B

(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.

应用举例

则

例2 解：设AB边上的高为h，使学生能够进1|AB|h2SVABC

一步对点到直|AB|(31)2(13)222AB边上的高h就是点C到线的距AB的距离.

离理解AB边所在直线方程为应用，能y3x1

1331逐步体会用代数运算即x + y

– 4 = 0.

点C到x + y

– 4 = 0的距离为h

解决几|104|5，

h1212何问题15因此，SABC225

的优越22性. 2．两平行线间的距离d

已知l1：Ax + By + C1

概念深= 0 化

l2：Ax + By + C2 = 0 d|C1C2|A2B2教师提问：

能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？

学生交流后回答. 再写出推理过程

进一步培养学生化归转化的思想.

证明：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0

上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为

d|Ax0By0C1|AB22. 又Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0= –C2，

∴d|C1C2|A2B2

例3

求两平行线

l1：2x + 3y

– 8 = 0 l2：2x

+ 3y

–

10 =0的距离. 解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

应用举例

d|243010|223221313

开拓学

在教师的引导下，学生分析思生思维，培养学生解题能力. 解法二：直接由公式

路，再由学生上台板书. d|8(10)|232221313

课堂练习：已知一直线被两平行线3x + 4y

– 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程. 课堂小结

归纳总通过本节学习，要求大家：

老师和学生共同总结——交流——完善

1.掌握点到直线的距离公培养学生归纳、概括能结

式，并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用. 作业.

力，构建知识网络. 课后作业

布置作业：课本习题3.3

A组9、10；B组2、4

独立完成

巩固深化

备选例题

例1

求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程. 解法一：当直线斜率不存在时，直线为x = –2，它到A、B两点距离不相等. 所以可设直线方程为：y

– 1 = k(x + 2)即kx

–

y + 2k + 1 = 0. 由|k22k1|k12|3k2k1|k12，

解得k = 0或k. 故所求的直线方程为y – 1 = 0或x + 2y = 0. 解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点. 若l∥AB且kAB，则l的方程为x + 2y = 0. 若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y = 1. 所以所求直线方程为y

– 1 = 0或x + 2y = 0. 例2

（1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P(0，1)对称的直线方程. （2）两平行直线3x + 4y

– 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的1212

方程. 【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C=0 由P点到两直线的距离相等，即

111621122|11C|21122，所以C = –38. 所求直线的方程为2x + 11y

– 38 = 0. （2）依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y

– 2 = 0的距离d1到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为d2所以d1 = d2即|C2|6282|C3|6282|C2|22，

68|C3|6822

，所以C. 12即l的方程为：6x8y0.

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