1.1.2 简单组合体的结构特征优质课教案

1.2.3

空间几何体的直观图

学习目标：

1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点) 3．强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错、易混点) 教学过程：

一.问题导学

知识点

斜二测画法

思考1

边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？

1答案

A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝AD. 2思考2

正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

答案

没有都画成正方形．

梳理：

1．直观图的概念

(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．

(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表

示水平面．

(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

3．立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．

二.题型探究

类型一

平面图形的直观图

例1

画出如图水平放置的直角梯形的直观图．

解

(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．

1(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行2线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)．

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．

引申探究

例1中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

解

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. 点，1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出2C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

反思与感悟：

1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．

(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．

(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

跟踪训练1

用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

(2)画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

类型二

直观图的还原与计算

命题角度1

由直观图还原平面图形

例2

如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

解

①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，得△ABC. 则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．

反思与感悟

由直观图还原平面图形的关键：(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．

跟踪训练2

如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．

答案

菱形

解析

如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

命题角度2

原图形与直观图的面积的计算

例3

如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，2A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．

3

解

如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝

O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2. 连接BC，即得到了原图形．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，

2＋3所以面积为S＝×2＝5. 2反思与感悟

(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．

(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝2S. 4跟踪训练3

如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形

A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(

)

1A.

2C.2

答案

C 1解析

直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积2比为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C. 类型三

空间几何体的直观图

例4

用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．(尺寸自定) 解

如图所示．

B.2

2D．22

①画轴．画出x轴，y轴，z轴，使∠

xOy＝45°，∠xOz＝90°. ②画底面．画出正六边形的直观图ABCDEF. ③画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取

长度相等的线段AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′. ④连线成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理，就得到底面为正六边形，侧面为矩形的正六棱柱．

简单几何体直观图的画法：

(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．

(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．

(4)连线成图．

反思与感悟：

1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．

2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”

跟踪训练4

用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解

画法：

(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，1以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，2画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．

三.训练内化

1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(

)

答案

C 解析

正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(

)

答案

C 解析

在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线1段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直2观图还原成原图形为选项C. 3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的(

) A.22倍

B．2倍

C.倍

D.2倍

42答案

A 4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．

答案

10 解析

在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，

∴AB＝62＋82＝10. 5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm) 解

(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.

(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．

规律与方法：

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：

(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．

3．求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解．

4．原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝22S

课时作业

一、选择题

1．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(

) A．45°

C．90°

答案

D 解析

因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D. 2．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是(

) B．135°

D．45°或135°

答案

C 解析

可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．

3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(

)

A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是等边三角形

答案

C 4．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(

) A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

答案

B 解析

由直观图的性质知B正确．

5．下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是(

)

答案

A 解析

由题意应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A正确．

6．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为

(

) A．16

C．16或64

答案

C 解析

等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 7．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(

) B．64 D．无法确定

答案

A 解析

直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．

8．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(

) A．2 cm

B．3 cm

C．2.5 cm

D．5 cm 答案

D 解析

圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.故选D. 二、填空题

9．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．

答案

(4,2) 解析

由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．

10．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________ cm2.

答案

矩形

8

解析

由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．

11．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中，梯形的高为________．

答案

1 解析

作CD、BE⊥OA于点D、E，

OA－BC则OD＝EA＝＝2(cm)，

2∴OD＝CD＝2 cm，

1∴在直观图中梯形的高为×2＝1(cm)．

2三、解答题

12．如图所示，画出水平放置的四边形OBCD的直观图．

解

(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示．画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．

(2)如图(2)所示，在x′轴正半轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′11正半轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC. 22(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求作的直观图．

13．如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．

解

方法一

画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，

1则A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝BD＝6 cm，

2故△A′B′C′的高为2B′D′＝32 cm，

21所以S△A′B′C′＝×12×32＝182(cm2)．

2即水平放置的直观图的面积为182 cm2. 11方法二

△ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm2)．

22由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC水平放置的直观图的面积是×72＝182(cm2)．

四、探究与拓展

14．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(

) A．锐角三角形

C．钝角三角形

答案

C 解析

将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．

15．由下列几何体的三视图画出直观图．

B．直角三角形

D．任意三角形

24

解

由几何体的三视图，知这个几何体是一个三棱柱．

(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z

轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC. (3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图．