习题2.2PPT配套优秀教学设计内容

2.2 直线、平面平行的判定及其性质 习题课

忠信中学 数学科组

杨勇灶

1.平行线的传递性 公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 2.直线与平面平行的判定与性质: (1)判定: (2)性质:

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一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列命题正确的是(

)

A.没有公共点的两条直线是平行直线

B.互相垂直的两条直线是相交直线

C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线

D.不在同一平面内的两条直线是异面直线

解析:没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B选项不正确;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.

答案:C 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于(

) A.30°

C.60°

答案:D 3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得

A.a⊂α,b⊂α

C.a⊥α,b⊥α

B.a⊂α,b∥α

D.a⊂α,b⊥α

(

) B.45°

D.90°

解析:由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.

解析:对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但当a与b异面时,不存在平面α,使结论成立,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,但当a与b平行时,不存在平面α,使结论成立,D错误.

答案:B 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行

②垂直于同一个平面的两个平面互相平行

③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行

其中不正确的个数是(

) A.1 答案:C 5.若l为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是(

) A.若l∥α,l∥β,则α∥β

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B.2 C.3 D.0 解析:利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C.

B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β

C.若l⊥α,l∥β,则α∥β

D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

解析:对于A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B正确;对于C,若l⊥α,l∥β,应推出α⊥β,故C错误;对于D,l与β的位置关系不确定,l∥β,l⊂β,l与β相交,都有可能,故D错误.

答案:B 6.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于(

) A.BD

B.AC

C.AD

D.A1D1

解析:由BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,则BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.答案:A 7.如图,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是(

)

A.1 B.

C.

D.

解析:取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF中,ED=

SB=1,DF=

AC=1,所以EF=

.

答案:B 8.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为(

) A.75°

B.60°

C.45°

D.30°

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解析:

如图,O为底面ABCD的中心,连接AC,BD,SO,易得SO⊥平面ABCD.

所以∠OCS为侧棱SC与底面ABCD所成的角.

又由已知可求得OC=

.因为SC=1,所以∠OCS=45°.

答案:C 9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是(

) A.AC⊥β

C.AB∥β

解析:如图, B.AC⊥m

D.AB∥m

则有AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l,AB⊄β⇒AB∥β.

答案:A 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论: ①EF⊥AA1; ②EF∥AC; ③EF与AC异面; ④EF∥平面ABCD.

其中一定正确的是(

) A.①②

C.②④

B.②③

D.①④

解析:如图,由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.

答案:D 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)

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11.直线l1∥l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是

.

解析:因为l1∥l2,所以经过l1,l2有且只有一个平面.

答案:1 12.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC与平面DEF的位置关系是

.

解析:因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3, 所以EF∥AC.

又因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF, 所以AC∥平面DEF.

答案:平行

13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小会

.(填“变大”“变小”或“不变”)

解析:∵l⊥平面ABC,∴l⊥BC.∵∠ACB=90°, ∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴∠PCB=90°.故当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小不变.

答案:不变

14.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,它的体积为

,底面对角线的长为

,则A1B1与平面AB1C1所成角的大小为

.

解析:由已知可求得长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为

.

过点A1作A1E⊥AB1于点E, 因为B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1E.

因为AB1∩B1C1=B1, 所以A1E⊥平面AB1C1.

所以∠A1B1E即为A1B1与平面AB1C1所成的角.

因为AA1=

,A1B1=1, 所以AB1=2,A1E=

.

因为sin∠A1B1E=

,

5

所以∠A1B1E=60°.

答案:60°

15.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件

时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).

解析:由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1C1C,即只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.

答案:B1D1⊥A1C1(答案不唯一) 三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(8分)

如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,经过点A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.

证明因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥BC.

又ABCD是正方形,所以AB⊥BC.

而PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.

因为AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.

由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE.

因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.

所以AE⊥PB.

17.(8分)如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面为等边三角形,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明.

解:

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点D为AA'的中点.证明如下: 取BC的中点F,连接AF,EF.

设EF与BC'交于点O,连接DO,易证A'E∥AF,A'E=AF,且A',E,F,A共面于平面A'EFA.

因为A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA, 且平面DBC'∩平面A'EFA=DO, 所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中, 因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF), 所以点D为AA'的中点.

18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)求证:DC⊥平面PAC.

(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.

(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.

(1)证明

因为PC⊥平面ABCD, 所以PC⊥DC.

又因为DC⊥AC, 所以DC⊥平面PAC.

(2)证明因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD, 所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.

所以平面PAB⊥平面PAC.

(3)解:棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.

又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.

又因为PA⊄平面CEF, 所以PA∥平面CEF.

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19.(10分)已知四面体A-BCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

解:过点A作AO⊥平面BCD,连接OD,OB,OC,可知O是△BCD的中心.作QP⊥OD,如图.易知QP∥AO,所以QP⊥平面BCD.连接CP,则∠QCP即为所求的角.

设四面体的棱长为a, 因为在等边三角形ACD中,Q是AD的中点,所以CQ=

a.

因为QP∥AO,Q是AD的中点,

所以QP=

AO=

-

a=

a,即sin∠QCP=

.

20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.

(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面ABE; (3)求三棱锥E-ABC的体积.

(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC, 所以AB⊥平面B1BCC1.

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)证明取AB的中点G,连接EG,FG.

因为E,F分别是A1C1,BC的中点, 所以FG∥AC,且FG=

AC.

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因为AC∥A1C1,且AC=A1C1, 所以FG∥EC1,且FG=EC1.

所以四边形FGEC1为平行四边形.

所以C1F∥EG.

又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE, 所以C1F∥平面ABE.

(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB=

-

.

所以三棱锥E-ABC的体积V=

S△ABC·AA1=

×1×2=

.

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