4.3.2 空间两点间的距离公式教学实录

4．3.2

空间两点间的距离公式

基础梳理

1．在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2．

练习1：点M(4，－3，5)到坐标原点O(0，0，0)的距离为d＝42＋（－3）2＋52＝52．

练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？

答案：表示球心为O，球半径为r的球．

2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2．

►思考应用

若点P(x，y，z)到点A(2，1，4)的距离为5，则x，y，z满足什么关系式？你能想象点P的集合是什么吗？

解析：（x－2）2＋（y－1）2＋（z－4）2＝5，

∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25.点P的集合是以(2，1，4)为球心，半径为5的球面．

自测自评

1．坐标原点到下列各点的距离最小的是(A)

A．(1，1，1)

B．(1，2，2) C．(2，－3，5)

D．(3，0，4) 2．点P(2，3，4)到y轴的距离是(B) A.13

B．25 C．5

D.29 解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，

∴|PP′|＝22＋42＝20＝25.

3．点(1，0，2)位于(C)

A．y轴上

B．x轴上

C．xOz平面内

D．yOz平面内

4．点P(1，4，－3)与点Q(3，－2，5)的中点坐标是(C) A．(4，2，2)

B．(2，－1，2) C．(2，1，1)

D．(4，－1，2)

基础达标

6321．点，，到原点的距离是(B) 326303335A.

B．1

C.

D.

666解析：|PO|＝623222＋＋＝1. 632

2．点M(3，－2，1)关于面yOz对称的点的坐标是(A) A．(－3，－2，1)

B．(－3，2，－1) C．(－3，－2，－1)

D．(－3，2，1) 解析：关于面yOz对称的两个点应该是横坐标互为相反数，纵、竖坐标不变，故选A.

3．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为86，则x等于(C)

A．2

B．－8

C．2或－8

D．8或－2 解析：由（x＋3）2＋（－1－4）2＋（6－0）2＝86，

∴(x＋3)2＝25，

∴x＝2或－8. 4．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(A) A．10x＋2y＋10z－37＝0 B．5x－y＋5z－37＝0 C．10x－y＋10z＋37＝0 D．10z－2y＋10z＋37＝0 解析：由|MA|＝|MB|，即(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.

5．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是(D)

A．243

B．221

C．9

D.86 6．已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，求：

(1)线段AB中点的坐标和A与B的距离；

(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件，并指出方程表示什么图形．

3＋1解析：(1)M(x，y，z)是AB的中点，则x＝＝2，

22＋01＋45y＝＝1，z＝＝，

2225∴M点的坐标为2，1，2.

两点间的距离

|AB|＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.

(2)由P(x，y，z)到A、B两点的距离相等．

则（x－3）2＋（y－2）2＋（z－1）2＝

（x－1）2＋（y－0）2＋（z－4）2，

化简得4x＋4y－6z＋3＝0.

即到A、B的距离相等的点的坐标(x，y，z)满足的条件是4x＋4y－6z＋3＝0.方程表示的图形是线段AB的垂直平分面．

巩固提升

7．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为30，则P点坐标为________________________________________________________________________．

解析：设点P的坐标为(x，0，0)，由题意，得|P0P|＝30，即（x－4）2＋12＋22＝30.

∴x＝9或x＝－1.

∴P点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．

答案：(9，0，0)或(－1，0，0) 8．在空间直角坐标系中，已知A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，则△ABC的面积是多少？

解析：|AB|＝（0－2）2＋（0－0）2＋（3－0）2＝13，

|BC|＝（2－0）2＋（0－2）2＋（0－0）2＝22，

|AC|＝（0－0）2＋（0－2）2＋（3－0）2＝13，

∵|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰三角形，

则BC边上的高h＝（13）2－（2）2＝11.

11∴S△ABC＝|BC|·h＝×22×11＝22. 229．在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，试问：

(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|? (2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．

解析：(1)假设y轴上存在M点满足|MA|＝|MB|

设M(0，y，0)由|MA|＝|MB|，可得

32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立．

∴y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.

(2)假设y轴存在点M，使△ABC为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都有|MA|＝|MB|，

∴只要满足|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．

∵|MA|＝10＋y2，|AB|＝

（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，

∴10＋y2＝20，解得y＝±10.

∴存在点M(0，10，0)或(0，－10，0)．

10．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，求该正方体的棱长．

解析：|AM|＝（3－0）2＋（－1－1）2＋（2－2）2＝13，

∴对角线|AC1|＝213，

设棱长x，则3x2＝(213)2，

239∴x＝. 3

空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空间中点的轨迹方程．目的都

是考查空间中两点间距离公式，解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程时，注意理解方程表示的图形．