复习参考题优质课一等奖

《几何体的外接球问题》教学设计

陈冰

一、教学目标：能熟悉掌握几何体外接球问题的补形法和构造直角三角形法。

二、教学重点：几何体外接球问题的补形法和构造直角三角形法的运用。

教学难点：运用空间想象能力分析几何体从而求解几何体外接球半径。

三、学情分析：学生此阶段是高三二轮复习阶段，在一轮复习时归纳了外接球问题的一些简单做法，在二轮复习时，让学生进一步归纳总结出难度提升一点的外接球做法。几何体外接球问题是学生学习过程中的一个难点，加上学生的空间想象力和画图能力的缺乏，使得题目难度显得更大，在课堂中应该注意合理引导学生。

四、教法与学法：探究式的教学方法

五、教学过程：

今天我们来探讨几何体的外接球问题，这是近几年的高考题（PPT展示），从题目中我们发现几何体的外接球问题是一个热门的考点，同时也是一个重点和难点。不同的几何体的外接球会有不同的方法，这节课我们来归纳出常用的几种方法。

（一）【课前练习】

已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

) 31713A.

B．210

C.

D．310 22【学生活动】这道题学生可以从之前的做法中提炼出两种方法，一种是构造直角三角形，另一种方法是补形，补成一个长方体。两种方法由学生自主讲解，老师做适当引导。

【设计意图】从这道题引出这节课的主题，几何体外接球问题的两种常规做法：补形和构造直角三角形。为下面的题目做铺垫。

（二）典例学习

下面我们进一步来体会这两种方法。

【例1】（1）棱长为的正四面体的外接球体积是__________ ，（2）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA面ABC，则球O的表面积等于（

）A

【师生活动】第（1）题：学生一：补形

学生二：构造直角三角形

老师：这两种方法都很好。

第（2）题：学生自主回答出用补形法

老师：这道题在上个星期的市一摸中出现过，就是题目中所说的蹩nao，它有个特征就是每个面都是直角三角形。

老师：做完这两个题，我们发现补形是个很好的方法，简便！那怎么样的三棱锥可以补成长方体呢？请在下面的4个长方体中画出。

小结：长方体中可割成以下几类三棱锥

通过学生的学案中收集满这四种图形，教师帮助学生归纳出各个图形的典型特征，方便学生识记。

三条棱两两垂直

底面为直角三角形，一条侧棱垂直底面，每个面都是直角三角形

底面为直角三角形，顶点在底面的投影与底面三角形构成矩形

相对的棱长度相等

变式练习：

（1）已知P、A、B、C是球O表面上的四点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球的体积为________ （2）四面体A-BCD中，接球的面积为_______ 思考题：一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体能否补成一个长方体或正方体？

【师生活动】变式题是另外两种补形，让学生对图形有更好的辨识度。由学生口答思路即可。

【设计意图】通过这4到补形的典型题目，让学生感知补形是一个很好的办法，而且能补形的题目也是有规矩可循的。思考题进一步题型学生补形的题目不止有三棱锥，还有其他几何体，补形的方法类似，让学生在以后的做题过程中可多加留意。

，则四面体A-BCD外

（三）难度提升

老师：补形很好，但万一补不了形又该怎么办呢？带着这个问题我们继续往下学习。

先看这样一道高考题。

【例2】（2012全国新课标11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，三角形ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（

）A

【师生活动】由学生得出不同的做法，教师做适当引导。

【设计意图】这道高考题是一个外接球问题的逆应用，即已知球半径求其他。在这道题中告诉学生构造直角三角形的方法，常常会过球心做一个面的垂线，也可以过球心做与地面垂直的直线的垂线，从而构造了一个矩形出来。另一方面，强调过球心做面的垂线，垂足为地面三角形的外接圆圆心，从而可以与正弦定理联系上。

变式演练：(1)已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA平面ABC，则球O的表面积为(

)D

A．15π

(2)在四面体SABC中，ABBC,ABBC2,SASC2，二面角SACB的B．12

C．

D．

余弦值是3，则该四面体外接球的表面积是（ ）B 3A．86 B．6 C．24 D．6

【师生活动】变式第2题比较难，在教师的引导下，学生一步一步完成，让学生熟悉常用的做垂直技巧。

【设计意图】这两道变式题在例题的基础上做了变式，第一题刚好有个棱垂直地面，过球心做棱的垂线时垂足刚好为棱的中点。第二题没有垂直地面的棱，这是我们可以自己做，通过构造两个直角三角形，最终用勾股定理依然可以求出球半径。

（四）课堂小结

（五）【课后作业】

1、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（

）

A．243818127 B． C． D．

164164２．【湖南永州市2017届高三第一次模拟，10】设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，BCA90，BCCA2，若该棱柱的所有顶点都在体积为32的球面上，则直线B1C与直3线AC1所成角的余弦值为（ ）

5522A． B． C． D．

33333. 【2016东北三省三校联考】已知三棱锥PABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA2，

PBPC1，则三棱锥PABC的外切球半径为 . 4、如图，在三棱锥D-ABC中，则三棱锥D-ABC的外接球半径R=_______

5．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1， ，将其沿对角线BD折成四面体

A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体

A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（

） A．32 B．3

C．

23D．2

（六）板书设计

几何体的外接球问题

一、

补形

课前练习

例1

例2

二、构造直角三角形

变式1

变式2

六、课后反思

这节课主要给予学生两种方法，一种是补形，一种是构造直角三角形去解决几何体的外接球问题，在例题的选用上，选用了比较典型的题目作为例题。

在第一次试讲时想覆盖更为广的补形图形，以至于后面构造直角三角形部门直角了一道题。在构造直角三角形部分也没有放入高考题，这样显得目标性不是很足，后来加上例2，既涉及到高考部分，让学生体会高考考法，也为后面两道变式题坐下很好的铺垫。

上完这节课，还是有很多地方需要更正。在补形部分讲得过多，以至于后面构造直角三角形时间不够，而后面题目更为难，时间不够讲得不够透彻，也没有时间给学生消化，很大程度上影响了上课效果。另外板书设计得不是很好，显得有点凌乱，需多改进。