3.1.1 变化率问题课堂实录【3】

§1.1.1变化率问题

教学目标

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气温平均变化率

【设计意图】引导学生最终用温度的平均变化率刻画

温度变化的快慢，让学生意识到可以用变化率体现事

物变化的快慢情况。

【学生探索】从图中观察出各时间段内的温度变化

情况,怎样用数学知识表示这种现象？

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在2函数关系h(t)= -4.9t+6.5t+10. 思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度）， 动手计算：0t0.5和1t2的平均速度v，

在0t0.5这段时间里，v在1t2这段时间里，vh(0.5)h(0)4.05(m/s)；

0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

21思考：当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平

均速度是多少? h(t2)h(t1)v

t2t1

【归纳总结】平均速度是用来刻画位移变化快慢的量。

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探究：计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49⑴运动员在这段时间内是静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

【学生探究】经过计算知h(65)h(0)，所以v49h(65)h(0)490(s/m)，

65049

2【分析作答】如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10的图像，结合图形可知虽然运动员在0t65这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，平49均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态。

问题3 气球膨胀率

【学生探索1】吹气球的过程中，气球发生了什么变化？

现象总结：在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)3空气容量v(L) 气球半径（dm）

半径的改变量（dm）

0 0 0.62 1 0.62 3V

4 2 0.78 0.16 3 0.89 0.11 如果体积增量不是1L,而是2L或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢，

因此还要计算半径的变化率。 此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。

V从0增加到1L气球平均膨胀率为 V从1L增加到2L气球平均膨胀率为 V从2L增加到3L气球平均膨胀率为 【设计意图】对一种生活现象的数学解析，层层深入，激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的.

r(V2)r(V1)思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?VV

21【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。

让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

（2）平均变化率概念: 【获取新知】平均变化率定义

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平均变化率：式子f(x2)f(x1) ，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

x2x1习惯上用x表示x2x1，即xx2x1, ff(x2)f(x1)

则平均变化率为f(x2)f(x1)y（说明∆x是一个整体符号，而不是∆与x相乘）

xx2x1【定义理解】

1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。

2、式子中∆x，∆y的值可正、可负，∆x的值不能为0，∆y的值可以为0. xx2x1,x2x1x3、变式: f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

x2x1x

三．典例分析

例1．已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点2B(1x,2y),则y ．

x解：2y(1x)2(1x)，

y(1x)2(1x)23x

∴xx例2．

求yx2在xx0附近的平均变化率。

y(x0x)2x0解：y(x0x)x0，所以

xx222x02x0xx2x02x0x

x 所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x

四．课堂练习

1．质点运动规律为st3，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 ．

2.物体按照s(t)=3t+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.253t

33.过曲线y=f(x)=x上两点P（1，1）和Q

(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

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六．布置作业

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