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第四章

圆与方程

章末知识整合

学习目标：

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；

能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系；

能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；

会推导空间两点间的距离公式；

初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

知识结构图

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类型一

求圆的方程

例1

根据条件求下列圆的方程：

(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．

解析：（见PPT）

反思与感悟

求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：

第一步：选择圆的方程的某一形式；

第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；

第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；

第四步：代入圆的方程．

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．

►跟踪训练

跟踪训练1

如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为_____________________．

类型二

直线与圆的位置关系

例2

已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．

(1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

解析：（见PPT）

反思与感悟

当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长；

(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2rd．

解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．

22

►跟踪训练

跟踪训练2

已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0．

(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43

，求l的方程；

(2)求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．

类型三

圆与圆的位置关系

例3

已知一个圆的圆心坐标为A(2,1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1、P2两点，若点A到直线P1P2的距离为5，求这个圆的方程．

解析：（见PPT）

反思与感悟

(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

►跟踪训练

跟踪训练3

已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为___________．

类型四

数形结合思想的应用

例4

曲线y14x2与直线yk(x2)4有两个交点，则实数k的取值范围是（

）

A．(0,551353)

B．(,)

C．(,]

D．(,]

121212434解析：（见PPT）

反思与感悟

数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．

►跟踪训练

跟踪训练4

已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则值为_____．

y的最大值为_____，最小x