1.4.3 含有一个量词的命题的否定PPT配套教学设计内容

1.4.3含有一个量词的命题的否定

教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用. 教学重点：量词间的转化以及对结论的否定；

教学难点：隐蔽性否定命题的确定；

教学过程：

一、复习回顾

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、情景探究

情景1：写出下列命题的否定？

设p:“所有的平行四边形是矩形”

¬p:“平行四边形不都是矩形”

¬p:“并非所有的平行四边形都是矩形”

也就是说，¬p : “存在一个平行四边形不是矩形”

探究1：写出下列命题的否定：

（1）每一个素数都是奇数；

否定：并非每一个素数都是奇数；

也就是说，存在一个素数不是奇数. （2）xR，x-2x+1≥0；

否定：并非所有的xR，x-2x+1≥0；

也就是说，

xR，x-2x+1<0.

想一想，通过比较，从形式上，你发现了什么？

（1）所有的平行四边形都是矩形；

存在一个矩形不是平行四边形

（2）每一个素数是奇数；

222

存在一个素数不是奇数

（3）xR，x-2x+1≥0；

xR，x-2x+1<0 三、新课讲授

从形式上看，全称命题的否定是特称命题.

含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论

全称命题P:M, p(x） 它的否定 P: xM,  P（x）

例1 写出下列全称命题的否定: （1）p：所有能被3整除的正数都是奇数；

（2）p：每一个四边形的四个定点共圆；

（3）p：x∈Z，x的个位数字不等于3. 分析：

（1） P：存在一个能被3整除的正数不是奇数；

（2） P：存在一个四边形，它的四个定点不共圆；

（3） P：x∈Z，x的个位数字等于3. 探究2：写出下列命题的否定：

（1）p：有些实数的绝对值是正数；

（2）p：某些平行四边形是菱形；

（3）p：

x∈R，x＋1<0；

分析：（1）否定：不存在一个实数，它的绝对值都不是正数；

也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；

（2）否定：没有一个平行四边形是菱形；

也就是说，任意一个平行四边形都不是菱形. （3）否定：不存在

x∈R，x＋1<0 也就是说，x∈R,x＋1≥0. 想一想：通过比较，从形式上，你发现了什么？

（1）有些实数的绝对值是正数；

所有实数的绝对值都不是正数. （2）某些平行四边形是菱形；

任意一个平行四边形都不是菱形. （3）

x∈R，x＋1<0；

22222222

x∈R,x＋1≥0. 从形式上来看，特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论

特称命题P:M, p(x） 它的否定 P: M,  P（x）

例2

写出下列特称命题的否定

（1）p：有的三角形是等边三角形；

（2）p：有一个素数含有三个正因数；

（3）p：

x∈R，x＋2x+2≤0；

分析：（1） P：所有的三角形都不是等边三角形；

（2） P：每一个素数都不含三个正因数；

（3） P：xR，x+2x+2>0. 例3写出下列命题的否定：

(1)

可以被5整除的正数，末位是0；

命题的完整表述：所有可以被5整除的整数，末位是0 否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0；

(2)

若x>4,则x>2；

命题完整表述:对任意的实数x，若x>4,则x>2；

2否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。

22222总结

对省略量词的命题在写命题的否定时，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称命题还是特称命题，先写成全称命题或特称命的形式，再对其进行否定. 练习3 写出下列命题的否定：

（1）三角形的内角和为180o；(2)负数的平方是正数；

关键量词的否定

词语

词语的否不是

定

至多有一词语

必有一个

至少有n个

个

所有x成立

立

所有x不成

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

是

一定是

都是

大于

小于

且

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个

定

有

个

个

成立

成立

四、跟踪训练

1.命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ） A.所有自然数的平方都不是正数

；

B.有的自然数的平方是正数

；

C.至少有一个自然数的平方是正数

； D.至少有一个自然数的平方不是正数

。

2.命题“存在一个三角形，内角和不等于180o”的否定（ ）

A.存在一个三角形，内角和等于180o ；

B.所有三角形，内角和都等于180o ；

C.所有三角形，内角和都不等于180o ； D.很多三角形，内角和不等于180o 。

3.命题“乌鸦都是黑色的”的否定为:______________________________. 4.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; (2)p:∃x∈R,x2+2x+2≤0; (3)p:若一个四边形是正方形，则它的对角线相等。

小结

含有一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题

特称命题的否定是全称命题

一般地，我们有：

“xM, p(x）”的否定为“xM,  P（x）”

“xM, p(x）”的否定为

“xM,  P（x）”