1.1.3 四种命题间的相互关系教学实录与评析

四种命题及其相互关系

一、教学目标：

l.知识与技能

（1）了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；

（2）能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．

（3）会用反证法证明简单的数学问题。

2. 过程与方法

（1）多让学生举命题的例子，并写出并理解四种命题间的相互关系；

（2）培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；

（3）培养学生抽象概括能力和思维能力．

3. 情感.态度与价值观

通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点.难点

重点：会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题之间的相互关系．

难点：1.分清命题的条件、结论和判断命题的真假

2.命题的否定与否命题的区别；写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；

3.分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

三、学情分析

学生初中阶段已经接触过命题,但不够系统和详细,教学时要通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣.多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力.

四、教学过程

活动一：创设情景、引入课题 问题1：请同学们回顾上一节课学习过的内容：

1、什么叫原命题？逆命题？否命题？逆否命题？并用“若P，则q”形式来表示

2、如何判断这四种命题的真假？

问题2：思考、分析

说出其中任意两个命题之间的相互关系点题：今天我们学习“四种命题间的相互关系”

活动二：师生交流、进入新知

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

原命题若p,则q互为否命题互为逆命题互为逆否命题互为逆命题逆命题若q,则p互为否命题逆否命题若非q,则非p否命题若非p,则非q四种命题的真假

看下面的例子：

问题3：结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

原命题为假时类似。结合以上练习完成下列表格：

四种命题的真假性

原 命 题

逆 命 题

真

假

真

假

否 命 题

逆 否 命 题

假

真

真

假

1）原命题：若x=2或x=3,

则x2-5x+6=0.逆命题：若x2-5x+6=0,

则x=2或x=3.否命题：若x≠2且x≠3,

则x2-5x+6≠0 .逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3.2）原命题：若a=0,

则ab=0.(真)(假)逆命题：若ab=0,

则a=0.否命题：若a≠

0,

则ab≠0.(假)逆否命题：若ab≠0,则a≠0.(真)

(真)(真)(真)(真)

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

命题方向

互为逆否命题同真同假的应用

例1

判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

[解析]

∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．

等价命题的应用

．．．．．．．【例2】

下列四个命题中：

①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题

②“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题

③“全等三角形的面积相等”的否命题

④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．

其中真命题的个数是(

)．

A．0

B．1

C．2

D．3 [思路探索] 对于直接证明有困难的命题，可利用逆命题与否命题，原命题与逆否命题的等价性解决．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

活动三：合作学习、探究新知

22例3：

证明：若xy0，则xy0

略

【变式练习】

求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等. 证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等.

这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题. 五．课堂小结

1．四种命题的准确表达及其相互关系；

2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用．

六、作业: 课本P8

习题1.1

1、2 七 板书

学习目标

能正确判断命题的真假，

八、教学反思

掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．

探究点

注意事项

1 2 3 4 例题分析

例1 例2 例

3 小结

作业

在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习命题的有关内容，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．