1.2.1 中心投影与平行投影教学设计第一课时

平面图形与其直观图的面积关系及其应用

山东省济宁市实验中学（272023）

陈辉

刘粉

新课标对学生作图能力的要求明显加强，因此，探究平面图形的直观图的性质很有必要．若记平面内的封闭图形为F，在这个平面内建立直角坐标系后，按照斜二测画法（“横不变、纵减半、角45”）画出这个图形的直观图F与原图形F比较，形状有明显不同，并且由于图形在直角坐标系中的位置不同，得到相应的直观图的形状也可能不同．那么不同形状的直观图，它们的面积是否相等？倘若相等，那么它们的面积与原图形的面积有没有一定的比例关系？这就是本文予以解决的．

1

平面图形与其直观图的面积关系

Y1.1

三角形与其直观图的面积关系

EC(1)若ABC的一边AB与X轴平行，如图1，则

由斜二侧画法可作出其直观图ABC．由作法可得

1BDAODOD,ADAD,ABAB,

2O

1DEDE,CECEY'

2

则其直观图ABC的高为

C'E'XhDEsin4512DEsin45DE

24D'A'OB'X'图1SABC1122ABhABDESABC

2244YC(2)若ABC的任意一边不与X轴平行，如图2，则过点

A作X轴的平行线AD，交BC于点D，则由1可知

SABCSABDSACD22SABDSACD44

22(SABDSACD)SABC44ADBOX图2由(1)、(2)可知，任意三角形的直观图的面积是原三角形面积的22SABC

（*）

倍，即SABC441.2

多边形M与其直观图M的面积关系

任意多边形M可以分割为若干个三角形，不妨设为n个，并设其面积分别为S1,S2,,Sn，则由（*）式得其直观图M的面积为

1

S多边形MS1S2Sn222S1S2Sn

444

2(S1S2Sn)4S多边形M由上可知，任意多边形的直观图的面积是原多边形面积的2倍，即4S多边形M2S多边形M4

1.3

曲边形N与其直观图N的面积关系

(1)若曲边形N为凸曲边形，如图3，设A1,A2,,An为其边缘的n等分点，连接A1A2,A2A3,,An1An,AnA1，的再面连积接为A1A3,A1A4,A1An1,，设设A1A2A3,A1A3A4,,A1An1AnS1,S2,,Sn2A1A2A3,A1A3A4,,A1An1An的直观图A1A2A3,A1A3A4,,A1An1An的面积分别为S1,S2,,Sn2，则

An-1AnS曲边形Nlim(S1S2Sn2)nAiAi-1

A1A2A3A422=lim(S1S244n2Sn2)

4图3limn2(S1S24Sn2)

=2S曲边形N

42倍，4(2)若曲边形N为凹曲边形，则将其分割若干个凸曲边形，证法同2．

由上可知，任意曲边形的直观图的面积是原曲边形面积的S曲边形N2S曲4边形N

综上所述：任意平面图形的直观图的面积是原平面图形面积的2倍，即4

2

S平面图形F2S平面图形F

42

平面图形与其直观图面积关系的应用

例1

利用斜二侧画法画出一个平面图形的直观图是边长为1的正方形（如图4），则这个平面图形的面积为_______________．

Y'解：因为

S2S

又S1

4O'X'所以，这个平面图形的面积为

S22S22．

例2

利用斜二侧画法画出一个周长为4的矩形的直观图，则此直观图的面积的最大值为_______________．

解：设矩形的两邻边长分别为x、2x，则此直观图的面积的为

图4S222x2x22

Sx(2x)()444242．

4即此直观图的面积的最大值为显然，利用此结直接接题比利用基本方法（斜二测画法画图）高效的多！

作者简介：

陈辉：男，山东泰安人，山东省济宁市实验中学二级教师。

刘粉：女，山东济宁人，山东省济宁市实验中学二级教师。

通讯地址：山东省济宁市实验中学高一数学组

邮编：272023 Email: chenhuilf@tom.com

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