1.2.1 中心投影与平行投影教学设计模板

1.2.1

中心投影与平行投影

学习目标

1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．

知识点一

投影的概念

(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．

(2)投影线：光线．

(3)投影面：留下物体影子的屏幕．

知识点二

投影的分类

投影

中心投影

平行投影

知识点三

三视图

(1)定义

定义

光由一点向外散射形成的投影

在一束平行光线照射下形成的投影

特征

投影线交于一点

投影线平行

分类

正投影和斜投影

(2)三视图的画法规则

①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；

②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；

③俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．

(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．

1．直线的平行投影是直线．(×) 2．圆柱的正视图与侧视图一定相同．(×) 3．球的正视图、侧视图、俯视图都相同．(√)

类型一

中心投影与平行投影

例1

下列说法正确的是(

) A．矩形的平行投影一定是矩形

B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行

C．两条相交直线的投影可能平行

D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

考点

平行投影

题点

判断平行投影的结果及应用

答案

D 解析

平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．

反思与感悟

(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．

(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．

跟踪训练1

如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图2中的________．(填序号)

考点

平行投影

题点

判断平行投影的结果及应用

答案

①②③

解析

要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．

在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是图①；在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是图②；在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是图③. 类型二

三视图的识别与画法

命题角度1

三视图的判断

例2

将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

考点

多面体的三视图

题点

多面体的三视图

答案

B 解析

显然从左边看到的是一个正方形，因为割线AD1可见，所以用实线表示；而割线B1C不可见，所以用虚线表示．故选B. 反思与感悟

根据空间几何体的直观图找三视图可以直接进行，找正视图就从正面看过去，找侧视图就从左边向右边看去，找俯视图就从上面向下面看去．注意能看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

跟踪训练2

一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是________．(填

序号)

考点

多面体的三视图

题点

多面体的三视图

答案

②

解析

该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②. 命题角度2

画几何体的三视图

例3

画出如图所示的几何体的三视图．

考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

解

正四棱锥的三视图如图所示，

考点

简单组合体的三视图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图

解

反思与感悟

画三视图的注意事项：

(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．

(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

跟踪训练3

如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图．

考点

旋转体的三视图

题点

圆柱的三视图

解

三视图如图所示．

(1)

(2)

类型三

由三视图还原几何体

例4

(1)说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．

考点

多面体的三视图

题点

棱台的三视图

解

几何体为三棱台，结构特征如下图：

(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．

考点

简单组合体和三视图

题点

其他柱、锥、台、球组成的三视图

解

此几何体上面为圆台，下面为圆柱，所以实物草图如图所示．

反思与感悟

(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．

(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．

跟踪训练4

某几何体的三视图如图所示，则该几何体是什么？它的高与底面面积分别是多少？

考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

解

由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，

11AC＝4，BD＝3，高为2.S△ABC＝AC·BD＝×4×3＝6. 22

1．一条直线在平面上的平行投影是(

) A．直线

C．点或直线

考点

平行投影

题点

平行投影的判断

答案

C 解析

当投影线与该直线平行时直线的平行投影为一个点；当投影线与该直线不平行时，直线的平行投影为一条直线．

2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(

) B．点

D．线段

考点

简单组合体的三视图

题点

切割形成几何体的三视图

答案

D 解析

从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的．

3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(

) A．球

B．三棱锥

C．圆柱

D．正方体

考点

旋转体的三视图

题点

圆柱的三视图

答案

C 解析

球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同，大小相等；三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图均为正方形，且形状相同，大小相等；圆柱的正视图、侧视图和俯视图不可能形状相同，故选C. 4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

考点

由三视图还原实物图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图

答案

D 解析

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D. 5．有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．

考点

多面体的三视图

题点

棱柱的三视图

答案

2,4 解析

由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为23×

1．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相2＝4. 3

等”的基本特征．

2．画组合体的三视图的步骤

特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．