探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积课时教案

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课题：

球的体积和表面积

教学目标：

1.熟记球的体积公式和表面积公式；

2.会用球的体积公式V4R3和表面积公式S4R2解决有关问题

3教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用

教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用

教学过程：

一、创设情景，引入新课：

提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

二、探究新知：

1．探究球的体积公式

回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。

构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页) 4VR33球的体积公式：

2. 探究球的表面积公式：

设球O的半径为R，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用S1,S2,,Si,表示，则球的表面积: SS1S2Si

以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积Si可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径1R近似地等于小棱锥的高hi，因此，第i个小棱锥的体积VihiSi，当“小锥体”的底3面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积: 1V(h1S1h2S23hiSi)，

又∵hiR，且SS1S2∴可得VSi1RS，

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又∵V144R3，∴RSR3，

333∴S4R2即为球的表面积公式

三、例题示范,巩固新知：

例1

已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且ABBCCA2，求球的表面积

解：设截面圆心为O，连结OA，设球半径为R，

则OA2323，

2323OO'在RtOOA中，OA2OA2OO2，

C∴R2(423212)R，∴R，

33464．

9BA2∴S4R例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积

解：作轴截面如图所示，

D'A'DAOB'BCC'CC6，AC2623，

设球半径为R，

222则ROCCC

A'RAOC' (6)2(3)29

∴R3，

∴S球4R36，V球2C4R336．

3A'例3．表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正棱柱的表面积

解：设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，

D'B'DAOC'四CB则作轴截面如图，AA14，AC2又∵4R324，∴R9，

2a，

A'OAC'22∴ACACCC82，∴a8，

C∴S表6423214576．

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例4. (P27页)如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的2；

3(2)

球的表面积等于圆柱的侧面积。

证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R. 4V球R3,VR22R2R3.圆柱3因为

2V球V圆柱.3所以,

S4RS圆柱侧2R2R4R (2) 因为

球,,

SS圆柱侧

所以,球. 四、练习反馈,理解加深：

22

指导学生完成P28练习1,2,3题

补充练习：

1．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；

2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；

3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；

4.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．

答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. 43，4

35球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．

分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．

解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为a23、a，a

222∴ 三个球的表面积之比是S1:S2:S31:2:3．

•

小结归纳

：

球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算

“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．

•

作业布置：

P28

习题1.3

A组第5题；

课外

P29

B组第

1题.

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