小结优秀公开课教案

导数在研究函数中的应用

-构造法解抽象函数问题教学设计

一、教材分析

本节课“导数在函数中的应用”是高中数学人教版教材选修1-1第三章第三节的内容，是高等数学的基础内容，它出现在中学数学教材中,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点和交汇点。导数的综合应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识，由于这一部分内容较多，在小结时，我的课时主要作如下安排，第一课时利用导函数研究单调性、极值、最值。第二课时构造法解抽象函数问题．在导数及其应用的客观题中,有一个热点考查点,即不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造的函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有一定的难度.本节课总结其基本类型及其处理方法. 二、学情分析

本人所教高三（1）班学生整体水平相对而言较差,学生成绩悬殊幅度相当大，因此在教学过中，需结合教材地位作用、内容分析以及学生实际，制定如下教学目标和重、难点突破方案。

三、教学目标

（1）根据函数条件，结合导数的公式，构造函数；

（2）利用函数的导数研究函数的单调性，进而研究函数的性质.

四、教学重点、难点

重点：根据条件合理的构造导数. 难点：探索函数的单调性与导数的关系. 五、学法与教法

学法设计：

（1）合作学习：引导学生分组讨论、合作交流、共同探讨、代表发言等；

（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，利用发散思维联想已学过的知识。

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如直击高考题的处理）。

教学用具：多媒体。

教法设计：

变式教学———让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；

六、教学环节及内容衔接

一、

1、基本初等函数的导数公式

若f(x)c（c为常数），则f'(x)

若f(x)x(Q), 则f'(x)

若f(x)sinx， 则f'(x)

若f(x)cosx， 则f'(x)

若f(x)ax， 则f'(x)

若f(x)ex， 则f'(x)

若f(x)logax， 则f'(x)

若f(x)lnx， 则f'(x)

2.导数运算法则

[f(x)g(x)]'

[f(x)g(x)]'

[f(x)']

g(x)3.

设函数y=f(x)在某区间内可导，

(1)如果f ’(x)>0,则y=f(x)在某区间上为增函数; (2)如果f ’(x)＜0,则y=f(x)在某区间上为减函数;

(3)如果在某区间内恒有f ’(x)＝0,则y=f(x) 为常数函数

2、

新课讲解

'类型一、只含f(x)类

例1.函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f(x)1，则不等式f(x)－x>0的解集为（

）．

A、

(1,)

B、(,2)

C、(2,)

D、[2,)

问题1、如何用导函数判断函数的单调性？

问题2、如何将f(x)1化为与0比较大小？

'f(x)－x>0与f(x)10有什么关系？

问题3、问题4、如何构造新的函数，进而得到该函数单调性？

问题5、能否归纳出这类问题的一般步骤？

变式1：函数f(x)的定义域为R，且满足f(1)＝2，f(x)1，则不等式f(x)x1的解集为（

）．

A.(1，)B.(,1)C.(11)，D.(,1)(1，)

类型二、含xf'(x)f(x)类

例2、若函数f(x)在R上可导且满足xf'(x)f(x)0恒成立，且常数a、b满足ab，则下列不等式一定成立的是（

）

A、af(a)bf(b)B、af(b)bf(a)C、af(a)bf(b)D、af(b)bf(a)

问题1、两个函数的导函数的运算法则是什么？

'xf(x)f(x)0，思考哪个函数的导数具有该不等式左边的形式？

问题2、观察

变式2：设函数f'(x)是奇函数f(x)（xR）的导函数，f(1)0，当x0时，xf'(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（ ）

A.(,1)(0,1)C.(,1)(1,0)

类型三、含f'(x)f(x)类

例3.设函数F(x)B.(1,0)(1,)D.(0,1)(1,)

f(x)'是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f(x)满足x对于xR恒成立，则（ ）

f'(x)f(x)

A.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)

B.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)

C.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)D.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)

变式3：已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)满足f(x)f'(x)0，则下列结论正确的是（ ) A.2f(ln2)3f(ln3)C.3f(ln2)2f(ln3)3.巩固练习: B.2f(ln2)3f(ln3)

D.3f(ln2)2f(ln3)

''1.定义在R上的函数f(x)，其导函数fx满足fx1，且f23，则关于x的不等式fxx1的解集为 ．

2.已知定义在R上的可导函数yf(x)的导函数为f/(x)，满足f/(x)f(x)，且yf(x1)为偶函数，f(2)1，则不等式f(x)ex的解集为 3.函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2015，对任意x∈R，都有f'(x)<2x成立，则不等式f(x)> x2+2011的解集为（ ）

A. （-2,2） B. （-2，+∞） C. （-∞，-2） D. （-∞，+∞）

4、已知函数f(x)的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x0时,f'(x)A.0f(x)1） 0则关于x的函数g(x)f(x)的零点的个数为（）xxB.1C.2D.0或25.f(x)是定义在（-∞，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a,b,若a

fxx1的解集为

4.课堂小结

1、对于只含f'(x)型，可构造g(x)f(x)kx2、(1)对于xf'(x)f(x)型，可构造g(x)xf(x);f(x)(2)对于xf(x)f(x)型，可构造g(x)x3、(1)对于f'(x)f(x)型，可构造g(x)exf(x);'(2)对于f'(x)f(x)型，可构造g(x)f(x)

ex

人教版数学学科选修1-1模块第 3章节导学案案

课题

学习

目标

重点

难点

导数在研究函数中的应用---构造法解抽象函数问题

课 型

小结课

根据函数条件，结合导数的公式，构造函数，利用函数的导数研究函数的单调性，进而研究函数的性质. 重点：根据条件合理的构造导数. 难点：探索函数的单调性与导的关系.

学 习 过 程

二、复习回顾

2、基本初等函数的导数公式

'若f(x)c（c为常数），则f(x)

教学备课

若f(x)x(Q), 则f(x)

'若f(x)sinx， 则f'(x)

若f(x)cosx， 则f'(x)

若f(x)ax， 则f'(x)

若f(x)ex， 则f'(x)

若f(x)logax， 则f'(x)

若f(x)lnx， 则f'(x)

2.导数运算法则

[f(x)g(x)]'

[f(x)g(x)]'

[

f(x)']

g(x)

二、新课讲解

类型一、只含f'(x)类

例1.函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f(x)1，则不等式f(x)－x>0的解集为（

）．

[2,)

A、

(1,)

B、(,2)

C、(2,)

D、

变式1：函数f(x)的定义域为R，且满足f(1)＝2，f(x)1，则不等式f(x)x1的解集为（

）．

A.(1，)B.(,1)C.(11)，D.(,1)(1，)

类型二、含xf'(x)f(x)类

例3、若函数f(x)在R上可导且满足xf'(x)f(x)0恒成立，且常数a、b满足ab，则下列不等式一定成立的是（

）

A、af(a)bf(b)B、af(b)bf(a)C、af(a)bf(b)D、af(b)bf(a

'变式2：设函数f(x)是奇函数f(x)（xR）的导函数，f(1)0，'当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（ ）

A.(,1)(0,1)C.(,1)(1,0)

B.(1,0)(1,)

D.(0,1)(1,)

类型三、含f'(x)f(x)类

例3.设函数F(x)f(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数xf'(x)满足f'(x)f(x)对于xR恒成立，则（ ）

A.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)

B.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)

C.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)D.f(2)e2f(0),f(2017)e2017f(0)

'变式3：已知定义在R上的函数f(x)的导函数f(x)满足f(x)f'(x)0，则下列结论正确的是（ ) A.2f(ln2)3f(ln3)C.3f(ln2)2f(ln3)

B.2f(ln2)3f(ln3)

D.3f(ln2)2f(ln3)

巩固练习: ''1.定义在R上的函数f(x)，其导函数fx满足fx1，且f23，则关于x的不等式fxx1的解集为 ．

2.已知定义在R上的可导函数yf(x)的导函数为f/(x)，满足f/(x)f(x)，且yf(x1)为偶函数，f(2)1，则不等式f(x)ex的解集为 3.函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2015，对任意x∈R，都有f'(x)<2x成立，则不等式f(x)> x+2011的解集为（ ）

A. （-2,2） B. （-2，+∞） C. （-∞，-2） D. （-∞，+∞）

24、已知函数f(x)的图象为R上的一条连续不断的曲线，当x0时,f'(x)A.0f(x)1） 0则关于x的函数g(x)f(x)的零点的个数为（）xxB.1C.2D.0或25.f(x)是定义在（-∞，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a,b,若a