3.1.3 导数的几何意义名师教学设计2

导数的几何意义

教学目标：

1知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2过程与方法：理解曲线的切线的概念；

3情感与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

创设情景

我们知道，十七世纪最伟大的数学成就是微积分的产生，牛顿和莱布尼茨分别从运动和几何的角度研究了微积分，微积分不仅是数学思想史上的里程碑，也是人类思想史上的里程碑。上节课我们已经研究了微积分的核心概念之一导数.今天我们继续站在巨人的肩膀上研究导数的几何意义. 上节课我们学***均变化率的几何意义，下面我们共同复***均变化率、割线的斜率；瞬时速度、导数；以及初中时切线的定义。

新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：

如图3.1-2，当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

下面请第一组同学回答一下。

图3.1-2 说明：（1）当点Pn沿着曲线无限接近点P时，割线PPn极限是在点P处的切线。

（2）割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋xnx0

近于切线PT的斜率k，即klimx0f(x0x)f(x0)f(x0)

x（3）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x（三）数学思想：

数形结合思想；无限逼近的极限思想；以直代曲的思想. 例题分析

例（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

根据图像，请描述、比较曲线h(t)在h(x)4.9x26.5x10，t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减．

（3）

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

本题总结：在x0处导数为正，则在(x0,f(x0))附近的曲线上升；在x0处导数为负，则在(x0,f(x0))附近的曲线下降。

在x0处导数绝对值越大，则在(x0,f(x0))附近的曲线变化越快；在x0处导数绝对值越小，则在(x0,f(x0))附近的曲线变化越慢。

课堂练习

已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示,记k1=f′(1) ,k2=f′(2),k3=f(2)-f(1), 则k1,k2,k3之间的大小关系为（

）解：由导数的几何意义可知k1,k2分别为曲线在A,B处切线的斜率,而

f2f（1）21k3=f(2)-f(1)=

为直线AB的斜率, 由图象易知k1>k3>k2.

（四）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

即:

f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

说明：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系：

1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。

归纳小结

1．曲线的切线及切线的斜率

2．导数的几何意义

3．导函数的概念