3.1.3 导数的几何意义教案设计（一等奖）

一、教材分析

《导数的几何意义》教学设计

《导数的几何意义》是人教A版选修1-2第一章《导数及其应用》第3.1.3节的内容，本节课为第一课时。本节课是在学生学***均变化率、瞬时变化率，以及用极限定义导数的基础上，进一步从几何意义上理解导数的含义与价值体会逼近和数形结合的数学思想。同时，本节课的内容为后续学习的《导数在研究函数中的应用》奠定了基础。因此，导数的几何意义有着承前启后的作用，是本节的重要内容。

二、学情分析

通过前两节对函数平均变化率、瞬时变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于切线和导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。

三、教学目标

1.

通过函数图像直观理解曲线在某点处的切线定义和导数的几何意义；

2.

掌握利用导数的几何意义求曲线的切线方程

四、教学重难点

1.

教学重点:理解导数的几何意义及其运用

2.

教学难点:理解曲线的切线定义、极限思想、以直代曲思想

五、教学策略

复***均变化率及其几何意义、导数定义及其求解步骤

提出问题：如何判断一般曲线在某点处的切线、导数的几何意义是什么

?

新知探究：切线的定义，导数的几何意义

课堂小结

应用拓展:求曲线在某点和过某点的切线

六、教学过程

(一)复习引入

在前面的课中，我们通过对平均速度与瞬时速度这一生活体验的分析，从函数的角度相应的抽象出了平均变化率与瞬时变化率（即导数）的概念，从几何的角度得出平均变化率的几何意义，请同学们课前完成导学案中的课前准备部分: 1.

平均变化率的定义及其几何意义分别是什么? yf(x2)f(x1)xx12函数yf(x)

从

到的平均变化率为

，其几何意义是割线的斜率，

x2x1x即k割线yf(x2)f(x1)

x2x1x2.

导数f(x0)的概念是什么？

函数yf(x)在

xx0

处的瞬时变化率称为函数yf(x)在

xx0处的导数, 记作f(x0)或y'xx0

，即y'xx0f(x0)limx0f(x0Δx)f(x0)



x3.

求函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的步骤是什么？

1)

求函数值的增量y

2)

求平均变化率y

x3)

求瞬时变化率（取极限）：f(x0)limx0f(x0Δx)f(x0)



xyyx我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率当0时的极限。平均变化率的几何xx意义是割线的斜率，那么，导数f(x0)的又有怎样的几何意义呢？这是今天我们所学习的内容——导数的几何意义。

设计意图:通过提问，学生复习，实施类比迁移，引入本节课题，并为探寻导数的几何意义作好准备。（二）观察分析，探索新知

新知1：切线的定义

观察下列图像（超级画板动画展示），当动点P1沿着曲线yf(x)逼近于定点Px0,y0时，思考以下问题： 问题1：割线PP1的变化趋势是什么？（平缓程度）

割线PP1

某确定的位置PT

1.

切线的定义

当动点P1沿着曲线yf(x)逼近点Px0,y0时，即x0，割线PP1趋近于某一确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为曲线yf(x)在点Px0,y0处的切线。

问题2：此处的切线的定义与以前学过的切线定义有什么不同？

曲线的切线，并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以无穷多。

设计意图:

通过课件演示割线的动态变化趋势

，为学生观察、

思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线.反映了切线的直观本质。

概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移，通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定。由此提出：如何定义曲线上某

点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入本节课重点内容的探索过程。



【提升总结】

说明：与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线；曲线的切线可能位于曲线图像的两侧；曲线的切线，并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以无穷多。

新知2：导数的几何意义

问题3：当动点P1沿着曲线yf(x)逼近于Px0,y0时割线斜率的变化趋势是什么？

割线的斜率k割线2.

切线的斜率k切线

导数的几何意义

曲线在点Px0,y0处的导数f(x0)是:曲线在点Px0,y0处的切线的斜率，即k切线=f(x0)。

【提升总结】

曲线yf(x)在点Px0,y0处的切线方程是yy0f(x)(xx)

00设计意图 :通过数与形结合，由割线斜率与平均变化率相联系，猜想切线斜率和导数相联系，并观察、

思考获得导数的几何意义。

（三）应用拓展

例1：已知函数f(x)x2，求

(1)在点A0,0处的切线方程；(2)在点B1,1处的切线方程; (3)在点C2,4处的切线方程。

变式：求曲线f(x)x3在P0,0的切线方程。

【提升总结】

1.求曲线在某点Px0,y0的切线方程的求解步骤：



（1）确定切点Px0,y0

（2）求切线斜率k切线=f(x0)（3）利用点斜式写出切线方程即可。

设计意图 :

强化曲线导数的几何意义与曲线在某点处的切线方程的求法；曲线f(x)x3在P0,0的切线方程是y=0,与切线定义中引入的图形相呼应。

例2：函数f(x)x2的图像如下所示，请做出例题中所求出的三点处的切线，请结合图像，请描述、比较曲线f(x)x2在点A、B、C附近的变化情况。



设计意图 : 函数在一点处的导数，也即函数图象上一点处的切线斜率，刻画了曲线在这一点处上升或下降的变化趋势，学生再次体会：

“数形结合思想”和“以直代曲”思想。

说明：“以直代曲”思想：在点Px0,y0附近，动点P1越靠近定点Px0,y0，割线PP1越贴近曲线yf(x)，过点Px0,y0的切线PT最贴近点Px0,y0附近的曲线f(x)。因此，在点Px0,y0附近，曲线f(x)就可以用过点Px0,y0的切线PT近似代替。

（四）课堂总结

1.

切线的定义

2.

导数的几何意义



3.

应用导数的几何意义求曲线方程的一般步骤

（五）课后巩固

基础篇A组：

1、求曲线f(x)x2在x2处的切线方程。

2、求曲线f(x)x3过点P2,8的切线方程。

3、理解探究导数f(x0)的几何意义的过程。

提升篇B组：

1.

课本教材P8练习，P11B组T2。

2.

求曲线f(x)x3过点P2,8的切线方程。

3.

阅读理解：

收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼茨的资料。