1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）PPT配套教学设计内容

球的表面积

教材：人教版《全日制普通高级中学教科书（试验修订本••必修）•数学》第二册（下А）

教学目标：

1.知识目标：①了解球的表面积公式的推导过程.②掌握球的表面积公式，能运用公式进行简单计算．

2.能力目标：通过球的表面面积公式的推导，培养和提高学生的空间想象能力. 3.情感目标：①渗透“分割、逼近、求和”的数学思想方法，培养辩证唯物主义观点(即数学中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化的观点).②让学生体会到不但实际的物理球优雅美丽，抽象的数学球性质漂亮，而且性质的证明也让人欣赏，激发学生学习数学的浓厚兴趣. 教学重点：球的表面积公式. 教学难点：“化整为零，又积零为整”的极限思想的渗透.

教学过程：

㈠创设情景，提出问题

球的大小由其半径唯一确定.球的表面积是对球的表面大小的度量，如果球半径为R，那么它的表面积就是以R为自变量的函数gR.我们如何确定球的表面积gR的解析式呢？

㈡类比思考，第一次碰壁

我们知道，圆柱、圆锥的侧面面积是通过将它们的侧面展成平面图形而求得的.球的表面能不能展开在一个平面上呢？(球面是不可展的曲面) ㈢类比思考，第二次碰壁

我们已经用“分割——求近似和——化为准确和”的方法求出了球的体积.现在我们想一想能不能按照同样的方法,把球切割成很多层近似于圆柱形状的“小圆片”，通过累加这些“小圆片”侧面积的近似值逼近球的表面积？（侧面积近似值的累加和的表达式复杂，用现有知识求解困难）

㈣球的表面积公式的推导

⑴分割

把球的表面分成n个小网格，设各个小网格表面积分别为S1,S2,,Sn．显然球的表面积SS1S2Sn．把球心O和每个小网格的顶点连结起来，整个球体就被分割为n个“小锥体”．例如球心O与第i个网格顶点相连后，就得到一个以O为顶点，以第i个网格为底面的“小锥体”．这样的“小锥体”的底面是球面的一部分，所以是“曲”的．但是，如果每个小网格都非常小，“小锥体”的底面就几乎是“平”的．这时，每个“小锥体”就近似于棱锥，它们的高近似于球半径R．

⑵求近似和

设n个“小锥体”的体积分别为V1，V2，，Vn，显然，球的体积VV1V2Vn．由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的近似值.设第i块“小锥体”对应的棱锥的底面积为Si'，高为hi，则它的体积1是Vi'hiSi'，i1,2,3,n，于是

11VihiSi'及Vh1S1'h2S2'33hnSn'

①

⑶化为准确和

分割得越细密，即每个小网格越小时，“小锥体”就越接近于棱锥；如果分割无限加细，每个小网格都趋向于无穷小，高hi就趋近于R，Si'就趋近于Si．于是，我们由①式得出V的精确值是

11VRS1S2SnRS

②

334将球的体积公式VR3，代入②式得：

341R3S

S4R2

33定理

半径是R的球的表面积

S4R2

（教师引导学生分析球的表面积公式推导过程中所涉及的数学思想和方法，并做归纳性小结）.公式的推导过程主要有三步：第一步是“分割”，第二步是“求近似和”，第三步是“化为准确和”.体会这种推导方法中包含的“化整为零，又积零为整”、“无限细分，以平代曲，逼近精确值”的重要数学思想.

（球的表面积公式的结构特征）.公式S4R2中，R表示什么？R2的几何意义是什么？因此，球的表面积公式又可以叙述为：球的表面积等于球的大圆面积的4倍.

㈤球的表面积公式的简单运用

练习1 课本71页练习1,2.

练习2 下面问题，并说明理由：

（l）球的半径扩大为原来的n倍，它的表面积扩大为原来的多少倍？

（2）球的表面积扩大为原来的n倍，它的半径扩大为原来的多少倍？

例题

圆柱的底面直径与高都等于球的直径（图见课本70页），求证：

（l）球的表面积等于圆柱的侧面积；（2）球的表面积等于圆柱的全面积的㈥小结归纳，布置作业

通过本节课的学习，我们掌握了球的表面积公式为S4R2.同时也了解到这一公式是怎么推得的.

布置作业：课本72页9, 10题, 77页例2．

课件设计说明

这节课的重点是球的表面积公式，难点是“化整为零，又积零为整”的极限思想的渗透.在本教案的设计中，考虑到中学生的实际能力以及教材的编写意图，我做了思考和安排：创设情景，提出问题——类比思考，第一次碰壁——类比思考，第二次碰壁——球的表面积公式的推导及运用；在“分割、求和、逼近”数学思想方法的渗透方面也进行了考虑，利2.

3用计算机辅助教学，让学生领会以平代曲，以有限逼近无限的数学思想。

数学的教学内容与其它科目相比较抽象，再加上有些内容的传统教学手段不得力，所以某些内容对于学生而言比较难掌握，这就形成了教学的难点。传统的教学方法在某些教学重点、难点的教学上有一定的局限性。计算机辅助数学教学进入课堂，可使抽象

的概念具体化、形象化，尤其计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学方法难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，从而增强他们的直观印象，这就为教师解决教学难点，突破教学重点，提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。