1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学实录

空间几何体的表面积与体积

适用学科

适用区域

知

识

点

数学

新课标

几何体的表面积

几何体的体积

几何体的三视图与体积、表面积问题

考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．

柱、锥、台的表面积和体积的求法。 柱体、锥体和台全的全积，台体与术体和锥体之间的转换关系。

适用年级

高二

课时时长（分钟）

60 考情分析

教学重点

教学难点

教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1

柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱

面

积

S侧＝2πrh 体

积

V＝Sh＝πr2h

111V＝3Sh＝3πr2h＝3πr2l2－r2

圆台

S侧＝π(r1＋r2)l S侧＝Ch 1S侧＝2Ch′[来源:Z。xx。k.Com]圆锥

S侧＝πrl 11V＝3(S上＋S下＋S上S下)h＝32π(r21＋r2＋r1r2)h

直棱柱

正棱锥

正棱台

球

V＝Sh

1V＝3Sh

1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h

4V＝3πR3

1S侧＝2(C＋C′)h′

S球面＝4πR2

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考点/易错点2

几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

三、例题精析

【例题1】

【题干】右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是(

) A. 20＋3π

B. 24＋3π

C. 20＋4π

D. 24＋4π

【答案】A 【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几1何体的表面积为4×5＋2×π＋2×2π＝20＋3π. 【例题2】

【题干】某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，侧(左)视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是(

) 20A. 3

C. 6

【答案】A

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4B. 3

D. 4

【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示，

其构成是一个正方体的上方除掉了一个正四棱锥，

120故V＝23－3×22×1＝3.

【例题3】

【题干】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)求几何体DABC的体积．

【解析】(1)

在图中，可得AC＝BC＝22，

从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，

取AC的中点O，连接DO，

则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，

又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD. (2)

由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，∴VBACD＝

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1142S·BC＝×2×22＝3△ACD33，

42由等体积性可知，几何体DABC的体积为3. 【例题4】

【题干】

一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：

(1)试画出它的直观图；

(2)求它的表面积和体积．[来源:Zxxk.Com]

【解析】(1)直观图如图所示．

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以3A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的4，

在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，

则四边形AA1EB是正方形，

∴AA1＝BE＝1，

在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，

∴BB1＝2，

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∴几何体的表面积

S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D

1＝1＋2×1＋2×2×(1＋2)×1＋1×2＋1＝7＋2(m2)．

33∴几何体的体积V＝4×1×2×1＝2(m3)，

3∴该几何体的表面积为(7＋2) m2，体积为2

m3. 四、课堂运用

【基础】

1．棱长为2的正四面体的表面积是(

)．

A.3 B．4 C．43 D．16 13解析

每个面的面积为：×2×2×＝3.∴正四面体的表面积为：43. 22答案

C 2．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为(

)．

A.142284280140 B. C. D.

3333解析

根据三视图的知识及特点，可画出多面体

的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去

一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积

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V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2×2×2＝答案

B 1312284. 33．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(

)

3πA．24－π B．24－

23C．24－π D．24－π

2解析

据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×413π－×π×12×3＝24－. 22答案

A

【巩固】

1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(

)．

A．33 B．23 C.3 D．1 解析

由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和3C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，3所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中

，BD＝3(43－x)，所以x＝3(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝3，所以三角形ABD为正三3

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1角形，所以V＝S△ABD×4＝3. 3答案

C 2．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．

解析

设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，4所以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是πr3，所以圆柱的32πr3体积和球的体积的比是＝3∶2. 4πr33答案 3∶2 3．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．

解析

由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h＋r＝R.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π222r2＋h22＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2. 答案

2πR2

【拔高】

1 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的表面积S.

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解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，

所以V＝1×1×3＝3. (2)由三视图可知，该平行六面体中，

A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，

所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋23. 2．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S. 解析

由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，

其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相

对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、

右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示．

11(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64. 33(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝42＋42＝42. 故几何体的侧面面积为：

S＝2××8×5＋×6×42＝40＋242. 1212课程小结

1.(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于

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球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．

(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

课后作业

【基础】

1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 (

)．

3A．2倍 B．22倍 C.2倍 D.2倍

4解析

由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V＝πR3，知体积扩3大到原来的22倍．

答案

B 2．某几何体的三视图如下，则它的体积是(

)

2πA．8－

3C．8－2π

π B．8－

32π D.

3解析

由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半12π径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－. 33答案 A 3．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为(

)

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ππA.95－ cm2 B.94－ cm2

22ππC.94＋ cm2 D.95＋ cm2

22

解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一ππ个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的441ππ表面积为2π××1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－＝64－.244π故其表面积是94＋. 2答案 C

【巩固】

1．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．

113解析

依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝3. 334答案

3

2．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．

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解析

由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为3，22122连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝. 2326答案

2

63．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.

解析

根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．

答案

13 【拔高】

1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的侧视图；

(2)求该安全标识墩的体积．

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解析

(1)侧视图同正视图，如图所示：

(2)该安全标识墩的体积为

V＝VPEFGH＋VABCDEFGH

1＝×402×60＋402×20

3＝64 000(cm3)．

2．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. (1)求该四面体的体积的最大值；

(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．

解析

(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝

CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，

BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，

∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC

11＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD

331＝·S△BPC·AD

311＝··a

32＝a－－·x

442x2a2a12a2－x2x2

3a2136≤·＝a(当且仅当x＝a时取等号)．

12282a1∴该四面体的体积的最大值为a3. 8(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为3216a＋2××a× 4226a，

262a

4∴S表＝2×a2－32610a3215a2＝a＋a×＝a＋

22424

12 / 13

＝23＋152a. 4

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