正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案推荐

第13课时

24.3 正多边形和圆

［学习目标］

1．理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念；

2．理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算；

3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. ［学习重点］解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，并能进行计算

［学习难点］探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边长、边心距、中心角之间的关系

［学法指导］

在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性. ［学习流程］

一、知识链接：

1.正多边形定义：

各边 ， 也相等的 叫做正多边形。

2.正n边形：

如果一个正多边形有 条边，那么这个正多边形叫做 。

常见的的正多边形有 。

3.菱形是正多边形吗？矩形和正方形呢?为什么？

1. 如果一个多边形的 顶点都在 圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 . 2.各边 ，各角也 的多边形叫做正多边形. 思考：教材p105练习第1题. 说明：正多边形的定义中“各边 ，各角 ”是正多边形的两个特征，缺一不可. 3.举例说出生活中常见的正多边形.

二、导学自习（教材P104 -106）

1、活动1：

思考：将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．

证明：如图1，把⊙O分成相等的5段弧，

依次连接各分点得到五边形ABCDE. BAEOABBCCDDEEA,

______________________,

CD（图1）

（3）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？

（4）结论：（正多边形和圆的关系）只要把一个圆分成 的一些弧，就可以作出这个圆的 ，这个圆就是这个正多边形的 . （5）思考：教材p105练习第2题

各角相等的圆内接多边形是不是正多边形? 如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.

2、活动2:阅读教材P104 -106 根据你的理解，谈谈下列概念的含义，

并指出图中相应的图形。

（1）正多边形的有关概念：一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；

______________叫正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；

中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．

试一试：

1）.如图：O是正△ABC的中心，它是△ABC的 圆与

圆

的圆心。OB叫正△ABC的

，它是正△ABC的 圆的半径。

OD叫作正△ABC的

，它是正△ABC的 圆的半径。

2）.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的 . 内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的 .

3）.⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE 的

，它是正五边形ABCDE的

圆的半径。∠AOB叫做

正五边形ABCDE的

角，它的度数是 .

4）如图2，在正六边形中，点O是正六边形的中心，画出它的的半径、边心距、中心角. O3.正多边形的对称性

作出下列正多边形的所有对称轴。

（图2）

观察得出结论：

1)正多边形 轴对称图形，一个正n边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 。

2)边数是偶数的正多边形还是 图形，它的中心就是 。

4.画正多边形的方法

三、典例精析

例1、

有一个亭子（如图）它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

(分析：欲求周长和面积，可先求什么？怎样作辅助线？)

EF

O

DA

BC归纳：正多边形的计算中常用的结论是：（1）正多边形的中心角等于 ；

（2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成 三角形；

（3）正n边形的半径和边心距，把正n边形分为2n个直角三角形.

例2、

阅读教材p106，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？ 1）

用量角器等分圆 2）

尺规作图等分圆

(1)正四、正八边形的尺规作图

（2）正六、正三

、正十二边形的尺规作图

归纳：

方法一、任何正n边形的作法：用量角器作一个等于 的圆心角，再等分圆；

方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法. （在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形）

例3、作出正三角形与正方形的内切圆各外接圆。

正三角形与正方形都有 圆和 圆，并且为

圆．圆心就是正多边形的 。

发现：任何一个正多边形都有一个 和一个 圆,这两个圆是 圆.

例4、[拓展延伸] 已知：如图9，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S．

四、［课堂小结］

1.当正多边形的边数一定时，可以求出正多边形的哪些元素？

2.在有关正多边形与圆的计算问题时，一般找由半径、边心距、边长的一半构成的直角三角形，将所求问题转化为直角三角形中的计算问题. 3.如果正多边形的边数一定，已知它的边长、半径、边心距、周长、面积中的任意一项，都可以求出其他各项.

五、［当堂达标］

1.

如图5所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）

A、60° B、45° C、30° D、22.5°

（图5）

2.正方形的边长为a，那么这个正方形的半径是 ，边心距是 . 3. 已知正三角形的边长为a，其内切圆半径为r，外接圆半径为R，则r：a：R等于（ (提示：任何一个正多边形都有一个外接圆和内切圆，它们的同心圆) A、1 ：23

：2

B、1 ：3

：2

C、1 ：2 ：3

D、1 ：3

：23

4.教材p105练习第3题. 5. 教材p107练习第1题.

六、作业布置

1．教材

2．《同步练习》

教学反思：

）