5.3 同角三角比的关系和诱导公式国家获奖教案

同角三角函数关系

教学目标：

1、知识与技能

（1）熟记同角三角函数的基本关系式sin2cos21，

（2）能推导同角三角函数的基本关系式. （3）能运用同角三角函数的基本关系式进行简单的三角函数式的求值. 2、过程与方法

通过例题讲解，总结方法通过做练习,巩固所学知识. 3、情感、态度与价值观

通过对基本关系式的猜想、推导与应用，培养学生由一般到特殊的认识事物过程和探索研究，发现等能力，使学生自觉养成严谨的科学态度. 教学重点：

基本关系式的推导与应用. 教学难点：

三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用. 教学方法：

本节课学生掌握起来难度不大，根据学生的认知水平及认知特点，对基本不等式的推导，采用启发引导、归纳、猜想、从特殊到一般的教学法；由于三角函数的符号确定困难，所以在例题教学中特采用讲练想结合的方法；让学生在具体解题中去感知. 教学过程：

（一）创设情境与新知学习

在前面一节课中，我们已经学习了三角函数的定义,那么三角函数是怎样定义的呢？在初中，我们也已经知道了特殊的三角函数值，接下来大家一起来计算下列式子。

(1),求sin2cos26

(2),求sin2cos24

sintan. cos

(3)(4)3,求sin2cos2,求sin2cos2

2你发现了什么规律？

那就需要我们来证明一下，根据定义证明就好了。

证明：根据定义，有

yxsin,cos,rx2y2

rr

y2x2y2x222则sincos2212

rrr

所以sin2cos21

当角的终边在坐标轴上时，sin2cos21这个平方关系成立吗？

会不会20,40，也有sin2cos21?我们知道不管怎样改变，它的正、余弦的平方和都是1，也计算说对于任意的，我们都有sin2cos21. 接下来我们来看一下当角sin,，时，tan与的值有什么关系？643cos

通过计算，你有什么发现？

sintancos

师:对于任意角是否也成立呢？你能证明吗？

证明：由三角函数定义知：

yx,cos,rx2y2rrsinyrytancosrxxsin所以sintancos当角



是任意角时，上式均成立吗？

我们知道所谓等式成立，必须是在有意义的条件下，所以cos不能为0,也就是



k,kZ，这就是我们今天学习的同角三角函数关系式。

2sin2cos21

sintancos练习：判断正误。

221、sin60cos90



1

（

）

sin22、tan（

）

cos2

3、sin21cos2（

）

22

4

、

sin





1



cos



（

）

5、对一切都有tancossin（

）

注：1、同角的含义是“角相同”

tan中的k,kZ22、cos2是(cos)2的简写，不能将cos2写成cos2,cos2是的余弦的平方，cos2是的平方的余弦，两者是不同的.（二）数学应用

例1、已知sin

4，且是二象限角，求cos,tan得值. 5思考1：条件“是第二象限的角”有什么作用？

思考2：如何由sin表示cos的联系？如何建立他们与tan的联系？

解：因为sin2cos21，所以

49

cos21sin21()2

525

又是第二象限角，因此sin0，故

3sin454，tan()

cos5cos533变一：已知sin4，求cos,tan得值. 5思考：此题与例1的区别在哪儿？如何解决这个问题？（学生分组讨论）

变二：已知tan2，求sin,cos的值. （师生活动：教师引导学生总结例1及变式解题方法）

归纳:这类型题是根据一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值（简称为“知一求二”）解决这类问题时，要先判断角是第几象限，进而确定所求的三角函数值的符号，然后再具体求解。（1）如果已知某个角的三角函数值，且角所在的象限已被指定时，那么只有一组解；（2）如果已知某个角的三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么按角所在的象限进行讨论，一般有两解. 例2、化简tan

11，其中是第二象限角. sin2

解：是第二象限角，

>0,cos<0

sin

211sintan1tan22sinsinsco2ssincon

ta2sincossin

sincos1cossin归纳：本题的关键点是利用公式的逆用，其次是“切化弦”。因此，在对公式的应用中，我们一定学会对公式的灵活应用。如：

2sin21cos2

co2s1sin

sin

tan例3、已知tan2，求下列各式的值. sincostan

cos

（1）sin4cos；

5sin2cos

（2）sin22sincos3cos2

解：（1）sin4costan421

5sin2cos5tan2126

（2）sin22sincos3cos2

2sin2sincos3co2s12sin2sincos3co2s2co2ssin

ta2

n2tan31ta2n1sincos变一：2,则tan?2sincos

归纳:同角三角函数关系式解决（形如）分式的有关问题：化弦为切；“1”的逆用. （三）小结

1、同角三角函数关系：sin2cos21，

sintancos

2、三角函数值的计算问题：利用平方关系时，往往要开方，

因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限

进行分类讨论。

（四）板书设计

多媒体

同角三角函数基本关系

回顾：设点P(x,y)

是角终边上任一例1、

点(异于点P)，

OPrx2y2

sinyx,cos

rr例2、

ytan

x

新知：

例3、

sin2cos21

sintan

cos

（五）布置作业

课后练习1、2。