4.5 反函数的概念优秀教学设计内容

4.5反函数的概念

一、教学内容分析

“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用.[来源:学科网]

二、教学目标设计

（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；

（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；

（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点：

反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定.

四、教学流程设计

创设情景引入

总结归纳提升

五、教学过程设计

1、设置情境，引出概念

引例：在两种温度度量制摄氏度(C)和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选引导探索研究

例题巩固概念

练习巩固反馈

用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？

C

F

0 32 20[来源:学科网ZXXK]

35 95 100 212 115 239 68

- 1 -

教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号yf1(x)；了解f1(x)表示反函数的符号，f2、

探索研究，深化概念

①探求反函数成立的条件. 1表示对应法则.

例1（1）yx2（xR）的反函数是 （2）yx2（x0）的反函数是 （3）yx2（x0）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A中任意一个y值，在定义域D中总有唯一确定的x值与它对应，即x与y必须一一对应.②探求求反函数的方法.（课本例题）

例2．求下列函数的反函数：

32（1）y4x2（2）yx1（3）yx1(x0)

[来源:学,科,网]

（4）y3x11(xR,x)

4x22[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1）

变形:解方程yf(x)，得xf1(y)；

(x)；

（2）

互换:互换x,y的位置，得yf1（3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.

- 2 -

例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）

教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系. 学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数yf(x)有反函数yf1(x)，则yf1(x)

的反函数是yf(x)，即yf(x)和yf1(x)互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.[来源:Z,xx,k.Com]

②从函数图像看：原函数和反函数图像关于yx对称. ③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性.

3、例题分析，巩固方法：

1、给出下列几个函数：①yx1(x24(x1)1)；②

y

22x(x2)3③yx2(xR) ④yx(2x)(x0)其中不存在反函数的函数序号是

- 3 -

②、④

2、若指数函数yf(x)的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为

( A )

（A）

y() （B）y2x （C）y3x

（Ｄ）y10x

3、设f(x)22x(x1)，则f112x(x) （ D ） （A）在（,)上是增函数 （B）在（,)上是减函数 （C）在[0,)上是减函数

（Ｄ）在（,0]上是增函数

24、若函数f(x)是函数y22x0x1的反函数，则f(x)的图像为 （ B ）

y y y y O x O x O x O x

A B C D 5、y2xx2 (1x2)反函数是 （ B ）

（B）y11x2 (0x1)[来源:学_科_网]（A）y11x2 (1x1)

（C）y11x2 (1x1)

2（D）y11x (0x1)

6、若yaxb(a0)有反函数且它的反函数就是yaxb本身，求a,b应满足的条件. 解：由yaxb，得axyb.由a0，知x所以函数yaxb的反函数为x1by. aa1by. aa1b由于函数yaxb的反函数xy就是函数yaxb本身，即有aa1ba，且b. aa于是，解得a1，b0或a1，b为任意实数. 教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本

- 4 -

身?(y4、课堂小结

kx1(k0),y等) xx1①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系；

5、作业布置

练习册4.5 A组

六、教学设计说明

1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识. 2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数yf(x)(xD,yA)的反函数存在的条件——“对值域A中任意一个y值，在定义域D中总有唯一确定的x值与它对应”. 3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数yf(x)有1yf(x)的反函数是yf(x)，即yf(x)和反函数yf(x)，则1yf1(x)互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域. 4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握x,y互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于yx对称，从而巩固对反函数概念的理解.

- 5 -