4.6 对数函数的图像与性质特级教师教学实录

课题4．6 ：（1）对数函数的图像与性质

教学目标

1、掌握对数函数的概念，图像与性质．学会运用对数函数的性质求对数函数的定义域和值域．

2、学会运用对数函数的单调性等知识比较两个对数值(式)的大小．

3、学会观察、分析、类比归纳等方法来探索问题，形成应用数形结合、类比联想、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力，提高创新意识和创造能力．

教学重点及难点

掌握对数函数的图像与性质；熟练运用对数函数的性质求对数函数的定义域、值域，会比较两个对数值(式)的大小．

教学过程

一、情景引入

1．观察

我们取一张簿纸,对半折,就会有2层,再对半折,会有4层；……

一张这样的纸经过x次对折后,得到的纸层数 y是次数x的函数.这个函数可以用指数函数

y＝2(xN*)表示． 2．思考

反之，如果要求一张纸折叠多少次,大约可以得到128层、1024层……折纸次数 x是纸张层数 y的函数．

3．讨论

根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是 x=log2y.如果用 x表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y＝log2x.由反函数的概念可知 y＝log2x ，即对数函数是同底数的指数函数的反函数．

二、学习新课

1．概念、图像、性质辨析

(1)对数函数的概念

x

函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数，函数ylogax(a0且a1)与指x数函数ya(a0且a1)互为反函数．

(2)试作出函数ylog2x和函数ylog1x的图像. 2[说明] 互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称

x解：先作出函数y2的图像，再作其关于直线yx对称的曲线，即为函数ylog2x的图像．

x同理：先作出函数y()的图像，再作其关于直线yx对称的曲线，即为函数ylog1x122的图像．

1

yy=2xy=x1y=()2xyy=xy=log2x0x0xy=log1x2

(3)对数函数的图像与性质如下表：

图

a

像 1

0a1

x=1y=logax(a>1)yx=1y01x

01xy=logax(0

性

)，值域为R (1)定义域为(0，

(2)图像过定点(1 ，0) 质

(3)当x1时，y0

当0(3) 当x当01时，y0

x1时，y0

x1时，y0

)上是增函数

(4)在(0，)上是减函数

(4)在(0，[说明] 性质3也可概括为口诀：

“大大得大”——底数a>1,真数x>1,得对数y>0；

“大小得小”——底数a>1,真数0

“小大得小”——底数01,得对数y<0；

“小小得大”——底数00．

2

2．例题分析

例1：求下列函数的定义域：课本第18页例1

例2：求函数ylog2(6xx2)的定义域与值域．5分析：由6xx20，解得3x2，得：函数ylog2(6xx2)的定义域是(3，2)．5125252当x(3，2)时，06xx2(x)2，且以为底的对数

244525函数是单调递减的，ylog2(6xx2)log22，455得：函数ylog2(6xx2)的值域是[2，)．5[说明] (一)求函数的定义域的方法有: 1.分母不为零； 2.偶次方根的被开方数非负；

3.对数的真数大于零； 4.指数函数、对数函数的底数大于零且不等于1；

5.零指数幂底数不为0；

6．利用反函数的值域求原函数的定义域；

7．实际问题要有意义．

(二)求函数ylogaf(x)的值域的一般步骤是: 1．先求出这个函数的定义域，即自变量x的取值范围；

2．再求函数f(x)的取值范围；

3．最后根据对数函数的单调性求得函数ylogaf(x)的取值范围，即函数的值域．

4．根据反函数的定义域求原函数的值域．

例3：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

《课本》第18页例2 例4：比较下列两数的大小：1(1)log0.1与log20.013(3)log35与log5411与log622(4)log0.32与log20.3(2)log5

3

分析：(1)底数00．11，真数011根据对数函数的性质331得log0．0，又底数21，真数00．011根据对数函数的13

1性质3得log20．010，得：log0．log20．01．1311(2)log5log6；(3)log35log34；(4)log0．3．32log20．22[说明]比较两对数大小的常用方法：

1．底数相同时，利用对数函数的单调性来比较；

2．底不同真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的问题再比较；

3．底与真数都不同时，利用0、1或-1等中间量进行比较．

三、巩固练习

1．当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图像是(解：答案是(A)．

y

0x

Ayy

)．y0x0x0xBCD2．作出函数ylog2(x1)的图像．

解一：先作出其反函数y2x1的图像，再画这个图像关于直线yx的对称图形，即为所求作的函数ylog2(x1)的图像

解二：先作出函数ylog2x的图像，再向右平移1个单位即可

解三：用描点法作出函数ylog2(x1)的图像．

四、课堂小结

本节课的内容是对数函数的概念、图像和性质，在理解对数函数概念的基础上，掌握和运用对数函数的图像和性质是本节课的重点和难点．由于对数函数与同底的指数函数互为反函数，其图像关于直线yx对称，所以由指数函数的图像相应地得到对数函数的图像，并由对数函数的图像特征，再类比指数函数的性质得到对数函数的性质．在学习、理解和运用对数函数的性质时，要注意避免与指数函数的性质相混淆，既要数形结合，又要分类讨论．

五、作业布置

练习册P5习题4.6 （A组）1----6

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